Porque o ensaio de cisalhamento direto não permite a obtenção direta do círculo de Mohr?
Passo 1
O que o enunciado pergunta: “Por que o ensaio de cisalhamento direto não permite a obtenão direta do círculo de Mohr?”\n
Informações que o enunciado (implicitamente) dá sobre o ensaio de cisalhamento direto:
Informações que o enunciado (implicitamente) dá sobre o ensaio de cisalhamento direto:
- No ensaio de cisalhamento direto aplicamos uma tensão normal controlada sobre uma superfície de cisalhamento pré-definida e medimos a força tangencial (e portanto a tensão de cisalhamento) na superfície até a ruptura.
- O resultado típico que temos do ensaio é um par de valores para cada ensaio: a tensão normal sobre a superfície
(imposta) e a tensão de cisalhamento de ruptura (medida). - A superfície onde medimos
é uma superfície já cortada no corpo (a interface do ensaio), não uma superfície arbitrária dentro de um estado de tensões elástico e homogêneo do material.\n
O pedido, portanto, é explicar por que a informação obtida diretamente no ensaio (esses paresna superfície de cisalhamento) não basta para traçar diretamente o círculo de Mohr do estado de tensões do material.
Passo 2
O que é o círculo de Mohr — explicação didática e fórmulas essenciais.\n
- O círculo de Mohr é a representação geométrica, no plano coordenado
, de todas as combinações de tensão normal e tensão de cisalhamento que atuam sobre todas as possíveis orientações de planos que passam por um ponto do material, para um determinado estado plano de tensões. Ou seja, dado um estado de tensões no ponto (por exemplo ), varrendo todas as orientações do plano obtemos um círculo no gráfico .\n - Fórmulas usuais (para um estado plano de tensões
):
onde
é a abscissa do centro do círculo e
é o raio. Alternativamente, se conhecemos as principais tensões
e
,
- Um ponto genérico
correspondente a uma dada orientação satisfaça a equação do círculo:
Passo 3
O que precisamos para construir o círculo de Mohr e por que um único par
não basta.\n
- Para determinar totalmente um círculo no plano precisamos conhecer o centro
e o raio (duas quantidades). Equivalente: precisamos conhecer dois pontos distintos e que pertençam ao círculo (dois pontos não colineares definem um círculo) ou conhecer as duas tensões principais .\n - No ensaio de cisalhamento direto, cada execução nos dá apenas um par
correspondente à superfície de corte escolhida naquela prova. Substituindo esse par na equação do círculo obtemos apenas uma relação:
Aqui as incógnitas são
e
. Uma equação não determina duas incógnitas: existem infinitas combinações
que satisfazem essa igualdade. Geometricamente, existem infinitos círculos que passam pelo ponto medido
. Conclusão: um único ponto não define o círculo.
Passo 4
Demonstração numérica simples para fixar a ideia (exemplo concreto).\n
- Suponha que, num ensaio, medimos
(unidades quaisquer) e . A equação que o círculo deve satisfazer para esse ponto é
- Para qualquer escolha de
podemos encontrar um fazendo
Isto mostra explicitamente que há infinitos pares
(logo infinitos círculos) passando por
. Logo não conseguimos, só com esse ensaio, identificar o centro e o raio reais do círculo de Mohr do estado de tensões do material.
Passo 5
Outros motivos experimentais e físicos que impedem a “obtenção direta” do círculo a partir do ensaio de cisalhamento direto (além do argumento puramente matemático).\n
- Superfície pré-definida: o ensaio força a falha numa junta/interface que foi criada (ou já existe) no espécime. Isso não equivale necessariamente ao plano natural de ruptura do material quando está em um campo de tensões livre. O círculo de Mohr descreve as tensões sobre planos internas de um estado contínuo; forçar uma superfície altera o estado local.\n
- Não-homogeneidade das tensões: na interface do ensaio há concentrações de tensão, atrito entre placas, efeitos de borda e distribuição não uniforme de
e ao longo da superfície. O círculo de Mohr pressupõe um estado de tensão representativo de um ponto material homogeneamente carregado.\n - Condições de contorno e restrição: as placas do aparelho impedem rotações e deslocamentos que existiriam em um elemento infinitesimal livre no interior do material. Isso muda a distribuição e orientação das tensões efetivas.\n
- Comportamento não elástico e evolução até o pico: o ensaio registra a tensão no ponto de ruptura, já após ajustes plásticos, dilatação, microfissuração etc. O círculo de Mohr é uma representação estática do estado de tensões no ponto; se o material mudou durante a carga, a interpretação fica comprometida.\n
- Tensões tri-axiais ou fora do plano: frequentemente existem componentes de tensão fora do plano de ensaio que não são medidas no cisalhamento direto; sem conhecer
(ou em regime triaxial) não se pode construir corretamente o círculo completo.
Passo 6
O que é possível fazer e como usualmente se obtém o círculo (breve comentário prático).\n
- Para obter o círculo de Mohr de forma confiável costuma-se usar ensaios que forneçam as duas tensões principais, por exemplo ensaios triaxiais, onde se conhece
e . Com e podemos traçar o círculo diretamente porque
- Outra forma prática: realizar vários ensaios que forneçam pontos distintos
sobre diferentes planos ou condições e ajustar um círculo que passe por dois (ou mais) desses pontos; ainda assim é preciso ter cuidado com não-homogeneidades e efeitos de interface.\n - Em resumo: ensaios que dão apenas um único par médio
de uma superfície pré-cortada não fornecem informação suficiente e nem as condições ideais para traçar diretamente o círculo de Mohr do estado de tensões do material.
Passo 7
Recapitulando de forma bem direta e motivadora (para a prova):\n
- O círculo de Mohr descreve todas as tensões normais e de cisalhamento em todas as orientações para um estado de tensões em um ponto; para construí-lo precisamos de informação suficiente (duas grandezas independentes: por exemplo
ou dois pontos distintos ).\n - O ensaio de cisalhamento direto dá só um par
numa superfície imposta, e ainda por cima sob condições de contorno e não-homogeneidade que invalidam a interpretação direta como “o” estado de tensões do ponto do material. Por isso não dá para traçar o círculo de Mohr diretamente a partir de um único ensaio de cisalhamento direto.
Resposta
Porque o ensaio de cisalhamento direto fornece apenas um único par médio
na superfície pré-definida (um único ponto no plano
), e um único ponto não determina o centro e o raio do círculo de Mohr (há infinitos círculos que passam por esse ponto). Além disso, condições práticas do ensaio (interface cortada, não-homogeneidade das tensões, atrito nas placas, restrições de contorno e evolução plástica até a falha) alteram o estado de tensões local, tornando inválida a obtenção direta e fiel do círculo de Mohr a partir desse ensaio.