Para o pórtico plano, determine a rotação em C. Use o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Considere: \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} e \mathrm{I}=0,00006 \mathrm{~m}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a rotação em C de um pórtico plano usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais. As informações numéricas fornecidas são:
E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
I=0,00006\\ \mathrm{m}^{4}.
Entretanto o enunciado não trouxe a figura do pórtico nem descreveu a geometria (comprimentos dos vãos), as condições de apoio (engastes, pilares, vinculações em A, B, etc.), nem as cargas (forças/distribuições/momentos e suas posições). Essas informações geométricas e de carregamento são essenciais para calcular a rotação em C.

Passo 2

Por que não dá para calcular numericamente sem a figura/dados faltantes:
  • Para aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais precisamos do diagrama de momento fletor real M(x) em cada elemento do pórtico (obtido a partir das cargas e da estática do pórtico).
  • Também precisamos do diagrama de momento virtual m^*(x) obtido aplicando um momento virtual unitário (1 N·m) no grau de liberdade correspondente à rotação em C com todas as cargas reais removidas (mas mantendo as mesmas condições de apoio).
  • Sem as dimensões dos elementos e sem a localização/magnitude das cargas não há como determinar nem M(x) nem m^*(x), logo não há como avaliar a integral do Trabalho Virtual que dá a rotação.

Passo 3

Apresento aqui, didaticamente e passo a passo, o método que você deve executar assim que tiver a figura/dados do pórtico — faço isso para você poder aplicar direto na prova:
  1. Princípio (fórmula chave). A rotação em C é dada por
\theta_C=\sum_{\text{membros}}\int_{\text{membro}} \frac{M(x)\,m^*(x)}{E I}\,dx,
onde:
  • M(x) é o momento fletor interno no ponto x do membro devido às cargas reais;
  • m^*(x) é o momento fletor interno no ponto x do mesmo membro, quando aplicamos um momento virtual unitário igual a 1\\ \mathrm{N\cdot m} em C (todas as cargas reais removidas);
  • E e I são, respectivamente, o módulo de elasticidade e o momento de inércia da seção (ambos constantes aqui);
  • a soma é feita sobre todos os membros do pórtico (viga superior, pilares, etc.).
    Observação importante: usar um momento virtual unitário significa que a carga virtual aplicada no grau de liberdade C tem magnitude 1\\ \mathrm{N\cdot m}. Assim m^*(x) tem unidade \mathrm{N\cdot m} e a integral tem unidade de energia (N·m); como o momento virtual foi escolhido unitário, o resultado já dá a rotação em radianos.
  1. Como obter M(x) (passo a passo prático):
  • Faça o esquema estrutural com todas as cargas reais e apoios.
  • Use equilíbrio dos nós/membros para traçar os diagramas de esforço cortante V(x) e momento M(x) em cada membro (este é procedimento de estática para estruturas hiperestáticas: reações podem precisar ser obtidas via compatibilidade ou tabela; mas normalmente o professor fornece um pórtico estático determinadamente simples ou pede método de compatibilidade).
  • Expresse M(x) com fórmula analítica em cada trecho (por exemplo M(x)=a+bx ou M(x)=c x + d dependendo das cargas).
  1. Como obter m^*(x):
  • Remova as cargas reais, mantenha as condições de apoio.
  • Aplique um momento de 1\\ \mathrm{N\cdot m} no ponto C na direção da rotação que você quer avaliar.
  • Resolva a estática (agora linear) para obter os momentos internos m^*(x) em cada membro devido a esse momento unitário. Em muitos casos m^*(x) será uma função simples (constante em vãos com momento concentrado aplicado, linear em vãos com carga concentrada de força virtual, etc.).
  1. Avaliação da integral:
  • Em cada membro compute \displaystyle I_{\text{membro}}=\int_{0}^{L_{\text{membro}}} M(x)\,m^*(x)\,dx.
  • Some todos os I_{\text{membro}} e divida por E I:
\theta_C=\frac{1}{E I}\sum_{\text{membros}} I_{\text{membro}}.
  • Lembre-se da convenção de sinais: use o mesmo sinal para M e m^* (produto positivo leva a contribuição positiva de rotação).

Passo 4

Dois exemplos simples para fixar o procedimento (fazendo um pouco de “aula” concreta):
Exemplo A — cantilever (apoiado em uma extremidade) com um momento M_0 aplicado na extremidade livre. Rotação na extremidade devido a M_0:
  • Diagrama real: M(x)=M_0 (constante ao longo do comprimento L).
  • Virtual: aplicar momento unitário 1\\ \mathrm{N\cdot m} na extremidade livre gera m^*(x)=1 (constante).
  • Integral:
\theta=\frac{1}{E I}\int_0^L M_0\cdot 1\;dx=\frac{M_0 L}{E I}.
Este é um resultado padrão: rotação final \theta=M_0 L/(E I).
Exemplo B — cantilever com força concentrada P na extremidade (queremos a rotação na extremidade):
  • Diagrama real: M(x)=P(L-x).
  • Virtual: aplicar momento unitário na extremidade dá m^*(x)=1.
  • Integral:
\theta=\frac{1}{E I}\int_0^L P(L-x)\cdot 1\;dx=\frac{P L^{2}}{2 E I}.
Resultado padrão: rotação de \theta= P L^{2}/(2 E I).
Esses exemplos servem para você ver concretamente como montar M e m^* e integrar.

Passo 5

Receita prática a aplicar na prova (check-list rápido para não esquecer):
  1. Desenhe o pórtico com todas as dimensões e cargas.
  2. Calcule reações e desenhe M(x) em cada membro (atenção à compatibilidade se hiperestático).
  3. Remova cargas reais e aplique momento virtual unitário em C; obtenha m^*(x).
  4. Calcule \displaystyle \int M(x)\,m^*(x)\,dx em cada membro (faça pedaços se M ou m^* mudarem de expressão).
  5. Some os termos e divida por E I usando E=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} e I=0,00006\\ \mathrm{m}^{4}.
  6. Interprete o sinal da rotação (positivo/negativo conforme sua convenção de sinais).

Passo 6

Se você me enviar a figura do pórtico (ou descrever: posição de C, comprimentos dos vãos, tipo de apoios, e todas as cargas com magnitudes e locais), eu aplico imediatamente esse procedimento passo a passo, monto M(x) e m^*(x), faço as integrais explicitamente e te dou o valor numérico da rotação em C já usando
E=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},\qquad I=0,00006\\ \mathrm{m}^{4}.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a rotação em C porque a figura do pórtico (geometry, posições e magnitudes das cargas e condições de contorno) não foi fornecida; envie a figura ou a descrição completa para que eu aplique o procedimento acima e calcule \theta_C.

Exercícios relacionados