Possíveis equações de correlação para
em um sistema líquido binário são dadas a seguir. Para cada um desses casos, determine por integração da equação Gibbs/Duhem
para
e
ctes) a equação correspondente para
. Qual é a equação correspondente para
? Note que, pela definição,
para
.
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre coeficientes de atividade (
) em um sistema líquido binário. A gente precisa usar a equação de Gibbs-Duhem para encontrar a expressão de
a partir de
. Além disso, queremos determinar a equação para
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coeficientes de atividade, a equação de Gibbs-Duhem e como integrar essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Gibbs-Duhem para um sistema binário, que é dada por:
Aqui,
e
são as frações molares dos componentes 1 e 2, respectivamente, e
e
são os coeficientes de atividade.
Passo 3
Sabendo que
quando
, isso nos dá uma condição de contorno para a integração. No caso, temos
. Queremos encontrar
.
Passo 4
Vamos substituir
na equação de Gibbs-Duhem:
Lembrando que
, vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Calculando a derivada:
Agora, substituímos na equação de Gibbs-Duhem:
Passo 6
Simplificando a equação:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Isso nos dá:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Usando a condição de contorno
quando
, ou seja, quando
, temos:
Mas quando
,
, então
. Assim:
Portanto:
Mas geralmente a constante é absorvida na definição do coeficiente de atividade, então podemos simplificar para:
Resposta
A equação correspondente é
e
.