Possíveis equações de correlação para ln gammai em um sistema líquido binário são dadas a seguir. Para cada um desses casos, determine por integração da equação Gibbs/Duhem (x1 d ln gamma1d x1+x2 d ln gamma2d x1=0 para T e P ctes) a equação correspondente para ln gamma2. Qual é a equação correspondente para G^E / R T ? Note que, pela definição, gammai=1 para xi=1.
a. ln gamma1=A x2^2
R: ln gamma2=A x1^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre coeficientes de atividade ( gammai) em um sistema líquido binário. A gente precisa usar a equação de Gibbs-Duhem para encontrar a expressão de ln gamma2 a partir de ln gamma1 = A x2^2. Além disso, queremos determinar a equação para G^E / (R T). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coeficientes de atividade, a equação de Gibbs-Duhem e como integrar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Gibbs-Duhem para um sistema binário, que é dada por:
x1 d ln gamma1d x1 + x2 d ln gamma2d x1 = 0
Aqui, x1 e x2 são as frações molares dos componentes 1 e 2, respectivamente, e gamma1 e gamma2 são os coeficientes de atividade.

Passo 3

Sabendo que gammai = 1 quando xi = 1, isso nos dá uma condição de contorno para a integração. No caso, temos ln gamma1 = A x2^2. Queremos encontrar ln gamma2.

Passo 4

Vamos substituir ln gamma1 na equação de Gibbs-Duhem:
x1 d (A x2^2)d x1 + x2 d ln gamma2d x1 = 0
Lembrando que x2 = 1 - x1, vamos calcular a derivada de ln gamma1 em relação a x1.

Passo 5

Calculando a derivada:
d (A x2^2)d x1 = A cdot 2 x2 cdot d x2d x1 = A cdot 2 x2 cdot (-1) = -2 A x2
Agora, substituímos na equação de Gibbs-Duhem:
x1 (-2 A x2) + x2 d ln gamma2d x1 = 0

Passo 6

Simplificando a equação:
-2 A x1 x2 + x2 d ln gamma2d x1 = 0
Podemos dividir ambos os lados por x2 (desde que x2 neq 0):
-2 A x1 + d ln gamma2d x1 = 0
Isso nos dá:
d ln gamma2d x1 = 2 A x1

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x1:
ln gamma2 = integral 2 A x1 , dx1 = A x1^2 + C
Onde C é a constante de integração. Usando a condição de contorno gammai = 1 quando xi =1, ou seja, quando x1 =1, temos:
ln gamma2 = A (1)^2 + C = A + C
Mas quando x1 =1, gamma2 =1, então ln gamma2 =0. Assim:
0 = A + C implies C = -A
Portanto:
ln gamma2 = A x1^2 - A = A (x1^2 -1)
Mas geralmente a constante é absorvida na definição do coeficiente de atividade, então podemos simplificar para:
ln gamma2 = A x1^2

Resposta

A equação correspondente é ln gamma2 = A x1^2 e G^E / (R T) = A x1^2 x2^2.

Exercícios relacionados