A pressão, temperatura e umidade relativa de uma mistura ar-vapor d’água na seção de alimentação de um resfriador são iguais a 100 \mathrm{kPa}, 35^{\circ} \mathrm{C} e 80 \%. A mistura é resfriada, a pressão constante, até 20^{\circ} \mathrm{C}. Determine a umidade relativa final e a quantidade de água condensada por quilograma de ar seco.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados na seção de alimentação do resfriador:
  • pressão total do gás: p=100\\ \mathrm{kPa};
  • temperatura inicial: T_1=35^\circ\mathrm{C};
  • umidade relativa inicial: \phi_1=80\%;
  • temperatura final (após resfriamento, à pressão constante): T_2=20^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede:
  1. Determinar a umidade relativa final \phi_2 após o resfriamento a 20^\circ\mathrm{C}.
  2. Determinar a quantidade de água condensada por quilograma de ar seco (isto é, \Delta w = w_1-w_2, em \mathrm{kg\\ de\\ água / kg\\ de\\ ar\\ seco}á).

Passo 2

Vou explicar as fórmulas fundamentais que usaremos (não se preocupa, eu mostro tudo passo a passo):
  • A umidade relativa \varphi é a razão entre a pressão parcial do vapor d’água p_v e a pressão de saturação do vapor àquela temperatura p_{vs}(T):
\varphi=\dfrac{p_v}{p_{vs}(T)}.
Aqui:
  • \varphi é adimensional (ou em %);
  • p_v e p_{vs} estão em \mathrm{kPa}.
  • A razão de mistura (ou razão de mistura mássica) w — também chamada de umidade absoluta ou mixing ratio — relaciona a massa de vapor por massa de ar seco e, para ar úmido ideal, é dada por
w=0,622\cdot\dfrac{p_v}{p-p_v},
onde:
  • 0,622 é a razão das massas molares M_v/M_a (vapor/ ar seco);
  • p é a pressão total (em \mathrm{kPa});
  • p_v é a pressão parcial do vapor (em \mathrm{kPa});
  • w tem unidades \mathrm{kg\\ vapor / kg\\ ar\\ seco}.
Essas duas fórmulas permitem passar de \varphi\leftrightarrow p_v e de p_v\leftrightarrow w. Na prática: primeiro determinamos p_v a partir de \varphi e p_{vs}(T); então calculamos w. Ao resfriar, o vapor pode atingir saturação e então condensar — nesse caso a pressão parcial do vapor no ar úmido em equilíbrio será p_{vs}(T_{\text{frio}}).

Passo 3

Precisamos dos valores de pressão de saturação p_{vs} nas temperaturas dadas. Vou usar valores de tabela (tabelas de vapor d’água / steam tables):
  • para T_1=35^\circ\mathrm{C}: p_{vs}(35^\circ\mathrm{C})=5,628\\ \mathrm{kPa};
  • para T_2=20^\circ\mathrm{C}: p_{vs}(20^\circ\mathrm{C})=2,338\\ \mathrm{kPa}.
(Afirmação: esses valores foram retirados de tabelas padrão de pressão de saturação do vapor d’água.)

Passo 4

Calcular a pressão parcial inicial do vapor p_{v1} a 35^\circ\mathrm{C} usando \phi_1:
p_{v1}=\phi_1\cdot p_{vs}(35^\circ\mathrm{C})=0{,}80\cdot 5{,}628\\ \mathrm{kPa}=4{,}5024\\ \mathrm{kPa}.
Agora calculo a razão de mistura inicial w_1 usando a fórmula de w:
w_1=0{,}622\cdot\dfrac{p_{v1}}{p-p_{v1}} =0{,}622\cdot\dfrac{4{,}5024}{100-4{,}5024}.
Faço as contas passo a passo:
0{,}622\cdot 4{,}5024 = 2{,}8004928, \qquad 100-4{,}5024 = 95{,}4976,
w_1=\dfrac{2{,}8004928}{95{,}4976}\approx 0{,}02933\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.

Passo 5

Agora consideramos o resfriamento a pressão constante até 20^\circ\mathrm{C}. O máximo de vapor que o ar pode reter em equilíbrio a 20^\circ\mathrm{C} corresponde à pressão de saturação p_{vs}(20^\circ\mathrm{C})=2{,}338\\ \mathrm{kPa}.
Compare p_{v1} com p_{vs}(20^\circ\mathrm{C}):
p_{v1}=4{,}5024\\ \mathrm{kPa} > p_{vs}(20^\circ\mathrm{C})=2{,}338\\ \mathrm{kPa}.
Como a pressão parcial inicial do vapor é maior que a pressão de saturação à temperatura final, ocorrerá condensação até que a nova pressão parcial do vapor valha p_{v2}=p_{vs}(20^\circ\mathrm{C}). Portanto, no estado final em equilíbrio a 20^\circ\mathrm{C} o vapor está saturado, ou seja a umidade relativa final é
\phi_2=\dfrac{p_{v2}}{p_{vs}(20^\circ\mathrm{C})}=1{,}00 = 100\%.

Passo 6

Calcular a razão de mistura final w_2 correspondente a p_{v2}=2{,}338\\ \mathrm{kPa}:
w_2=0{,}622\cdot\dfrac{2{,}338}{100-2{,}338}.
Faço as contas:
0{,}622\cdot 2{,}338 = 1{,}454236, \qquad 100-2{,}338 = 97{,}662,
w_2=\dfrac{1{,}454236}{97{,}662}\approx 0{,}014887\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.

Passo 7

A quantidade de água condensada por quilograma de ar seco é a diferença entre w_1 e w_2:
\Delta w = w_1 - w_2 \approx 0{,}02933 - 0{,}014887 = 0{,}014443\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
Em unidades mais intuitivas:
\Delta w \approx 0{,}01444\\ \mathrm{kg/kg} = 14{,}44\\ \mathrm{g\\ de\\ água\\ por\\ kg\\ de\\ ar\\ seco}.á

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio (para você usar na prova):
  • converta a umidade relativa em pressão parcial através de p_v=\varphi\,p_{vs}(T);
  • converta p_v em razão de mistura w com w=0{,}622\,p_v/(p-p_v);
  • ao resfriar, se p_{v1}>p_{vs}(T_2) haverá condensação até p_v=p_{vs}(T_2);
  • água condensada por kg de ar seco = w_1-w_2.
Força aí — você já entendeu a ideia central: primeiro vira pressão, depois vira razão de mistura, e a diferença é o que condensa. Vai dar certo na prova!

Resposta

Umidade relativa final: 100\%
Água condensada por kg de ar seco: 0{,}01444\\ \mathrm{kg\\ de\\ água/kg\\ de\\ ar\\ seco}á (aprox. 14{,}44\\ \mathrm{g/kg})

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