Pressões de até 3.000 atm são medidas com um manômetro a contrapeso. O diâmetro do êmbolo é de 0,17 in. Qual é a massa aproximada, em lbm, dos contrapesos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um manômetro que mede pressões de até 3.000 atm. O diâmetro do êmbolo é 0,17 polegadas. A pergunta é: qual é a massa dos contrapesos, em libras-massa (lbm)?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pressão, força e área, além de fazer umas conversões de unidades. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da pressão:
P = FA
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ F $ é a força,
  • $ A $ é a área.
Aqui, a força $ F $ é a força que o contrapeso exerce para equilibrar a pressão. A força é igual à massa $ m $ vezes a aceleração da gravidade $ g $:
P
Então, podemos reescrever a fórmula da pressão como:
F

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a massa $ m $. Vamos rearranjar a fórmula para resolver $ m $:
m
Agora, precisamos calcular a área $ A $ do êmbolo. O diâmetro é de 0,17 polegadas, então o raio $ r $ é metade disso:
m

Passo 4

A área de um círculo é dada por:
A = pi r^2
Substituindo o valor do raio:
A = pi cdot (0,085)^2 approx 3,1416 cdot 0,007225 = 0,0227 , po<=gadas^2

Passo 5

Agora, queremos a massa em libras-massa (lbm), mas a pressão está em atmosferas (atm). Vamos converter a pressão para unidades compatíveis. Sabemos que:
1 , atm = 14,696 , psi
Então, 3.000 atm é:
P = 3.000 cdot 14,696 = 44.088 , psi

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula da massa:
m = P cdot Ag
Onde:
  • $ P = 44.088 , psi $,
  • $ A = 0,0227 , polegadas^2 $,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade, que em unidades do sistema imperial é $ 32,174 , ft/s^2 $.
Mas precisamos que todas as unidades estejam coerentes. Vamos converter a área de polegadas quadradas para pés quadrados:
P = 44.088 , psi é

Passo 7

Agora, calculamos a massa:
m = 44.088 , psi cdot 0,000158 , ft^232,174 , ft/s^2 approx 6,96432,174 approx 0,216 , lbm

Resposta

A massa aproximada dos contrapesos é de 0,216 libras-massa (lbm).

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