Pressões de até 3.000 atm são medidas com um manômetro a contrapeso. O diâmetro do êmbolo é de
. Qual é a massa aproximada, em lbm, dos contrapesos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um manômetro que mede pressões de até 3.000 atm. O diâmetro do êmbolo é 0,17 polegadas. A pergunta é: qual é a massa dos contrapesos, em libras-massa (lbm)?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pressão, força e área, além de fazer umas conversões de unidades. Bora passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da pressão:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ F $ é a força,
- $ A $ é a área.
Aqui, a força $ F $ é a força que o contrapeso exerce para equilibrar a pressão. A força é igual à massa $ m $ vezes a aceleração da gravidade $ g $:
Então, podemos reescrever a fórmula da pressão como:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a massa $ m $. Vamos rearranjar a fórmula para resolver $ m $:
Agora, precisamos calcular a área $ A $ do êmbolo. O diâmetro é de 0,17 polegadas, então o raio $ r $ é metade disso:
Passo 4
A área de um círculo é dada por:
Substituindo o valor do raio:
Passo 5
Agora, queremos a massa em libras-massa (lbm), mas a pressão está em atmosferas (atm). Vamos converter a pressão para unidades compatíveis. Sabemos que:
Então, 3.000 atm é:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula da massa:
Onde:
- $ P = 44.088 , psi $,
- $ A = 0,0227 , polegadas^2 $,
- $ g $ é a aceleração da gravidade, que em unidades do sistema imperial é $ 32,174 , ft/s^2 $.
Mas precisamos que todas as unidades estejam coerentes. Vamos converter a área de polegadas quadradas para pés quadrados:
Passo 7
Agora, calculamos a massa:
Resposta
A massa aproximada dos contrapesos é de 0,216 libras-massa (lbm).