Problema 5): (Expansão livre de um gás de Van der Waals) Considere que um mol de um gás de Van der Waals descrito no problema 4 encontra-se num recipiente com volume inicial
e temperatura inicial
. Em seguida, o gás sofre uma expansão livre adiabática e dobra seu volume inicial. Utilizando qualquer resultado do problema 4, calcule para o gás em função das constantes
e
:
A variação de temperatura no processo.
A variação de temperatura no processo.
Passo 1
Beleza, enunciado na real é: temos 1 mol de gás de Van der Waals num volume inicial
e temperatura inicial
. Ele sofre expansão livre (isto é, sem troca de calor nem trabalho contra a pressão externa) e dobra o volume para
. A gente já sabe do problema 4 que, pra um gás de Van der Waals, a energia interna muda não só com a temperatura mas também com o volume. O que vamos usar aqui é:
- A primeira lei (ΔU = Q – W) e, no nosso caso, Q = 0 e W = 0 → ΔU = 0.
- A expressão diferencial de U:
ondeé o calor molar a volume constante e é a pressão de Van der Waals.
Passo 2
Primeiro a gente precisa achar o termo
para o gás de Van der Waals. Lembra que:
Então:
-
- Multiplica por T:
3) Subtrai P:
Passo 3
Então a diferencial de U vira
No processo de expansão livre adiabática, ΔU = 0. Logo:
Passo 4
Integramos entre os estados inicial e final (de
a
e de
a
):
Isso dá:
-
-
Então: