Problema 5): (Expansão livre de um gás de Van der Waals) Considere que um mol de um gás de Van der Waals descrito no problema 4 encontra-se num recipiente com volume inicial V0 e temperatura inicial T0. Em seguida, o gás sofre uma expansão livre adiabática e dobra seu volume inicial. Utilizando qualquer resultado do problema 4, calcule para o gás em função das constantes a, b, c, V0 e T0:
A variação de temperatura no processo.

Passo 1

Beleza, enunciado na real é: temos 1 mol de gás de Van der Waals num volume inicial V0 e temperatura inicial T0. Ele sofre expansão livre (isto é, sem troca de calor nem trabalho contra a pressão externa) e dobra o volume para 2V0. A gente já sabe do problema 4 que, pra um gás de Van der Waals, a energia interna muda não só com a temperatura mas também com o volume. O que vamos usar aqui é:
  • A primeira lei (ΔU = Q – W) e, no nosso caso, Q = 0 e W = 0 → ΔU = 0.
  • A expressão diferencial de U: dU = c,dT + l[Tl(partial P/partial Tr)V - Pr],dV
    onde c é o calor molar a volume constante e P é a pressão de Van der Waals.

Passo 2

Primeiro a gente precisa achar o termo Tl(partial P/partial Tr)V - P para o gás de Van der Waals. Lembra que:
P = R,TV - b - aV^2,
Então:
  1. l(partial P/partial Tr)V = RV - b,,
  2. Multiplica por T: T,RV - b = R,TV - b,
    3) Subtrai P:
    Tpartial Ppartial T - P = R,TV - b - l(R,TV - b - aV^2r) = aV^2,

Passo 3

Então a diferencial de U vira
dU = c,dT + aV^2,dV,
No processo de expansão livre adiabática, ΔU = 0. Logo:
0 = c,dT + aV^2,dV,

Passo 4

Integramos entre os estados inicial e final (de T0 a Tf e de V0 a 2V0):
integralT0^Tf c,dT + integralV0^2V0 aV^2,dV = 0,
Isso dá:
  1. c,(Tf - T0),,
  2. integralV0^2V0 aV^2,dV = al[-1Vr]V0^2V0 = al(-12V0 + 1V0r) = a2V0,
    Então:
    c,(Tf - T0) + a2V0 = 0,

Resposta

boxedTf - T0 = De

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