Relação fundamental e gás de Van der Waals
Considere que um gás de Van der Waals é descrito pela relação fundamental molar: s(u, v)= c ln (u+av)+R ln (v-b)+s0, onde a, b e c são constantes positivas que caracterizam o gás.
Explique se este modelo satisfaz a 3^ a lei da termodinâmica.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente olhar a entropia molar de um gás de Van der Waals dada por
s(u,v)=c,ln!l(u+tfracavr);+;R,ln(v-b);+;s0
onde u é a energia interna molar, v o volume molar, e a,b,c constantes do gás. A pergunta é: esse modelo satisfaz a 3ª lei da termodinâmica?
Matéria: termodinâmica – em especial comportamento da entropia na vizinhança de temperatura zero. O que precisamos:
1) lembrar a 3ª lei (entropia mínima ou tendendo a constante quando Tto0),
2) relacionar entropia com temperatura,
3) ver o limite Tto0 em s(u,v).

Passo 2

Vamos achar a relação entre entropia e temperatura. Na termodinâmica temos
1T=partial spartial ug|v
Então calculamos a derivada parcial de s(u,v) em relação a u:
$$\frac{\partial s}{\partial u}
=\frac{\partial}{\partial u}\Bigl[c\ln(u+\tfrac a v)\Bigr]
=c,\frac{1}{u+\tfrac a v}
=\frac{c}{u+\tfrac a v}.$$

Passo 3

Invertendo para achar T:
1T=cu+tfrac a v Longrightarrow T=u+tfrac a vc
Isso vale para qualquer v>b. Se quisermos, podemos isolar u:
u=c,T-av

Passo 4

A 3ª lei diz que, ao nos aproximarmos de Tto0, a entropia deve tender a um valor mínimo finito (normalmente zero ou algum constante universal). Vamos checar o que acontece com s quando Tto0.
Para Tto0 a gente precisa de
u+ a v;to;0,
pois T=(u+a/v)/c. Então na fronteira temos
u=-av
(com v>b, então a/v é finito e u fica negativo).
Substituindo esse valor de volta em s(u,v):
s =cln!l(u+tfrac a vr) +Rln(v-b)+s0 =cln(0)+Rln(v-b)+s0
E ln(0)to-infty. Logo a entropia diverge negativamente quando Tto0.

Passo 5

Como a entropia não tende a um valor finito (fica menos infinito), esse modelo NÃO satisfaz a 3ª lei da termodinâmica.

Resposta

O modelo de gás de Van der Waals dado não satisfaz a 3ª lei da termodinâmica, pois sto-infty quando Tto0, em vez de tender a uma constante mínima.

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