Um calorímetro com equivalente-água de 20 gramas contém 100 gramas de água a 25^{\circ} \mathrm{C}(298 \mathrm{~K}).
Quando uma massa de água de 100 gramas de alumínio a 121^{\circ} \mathrm{C}(394 \mathrm{~K}) é colocada neste calorímetro a temperatura final é de 40^{\circ} \mathrm{C}(313 \mathrm{~K});
Quando a temperatura inicial do alumínio é 243^{\circ} \mathrm{C}(516 \mathrm{~K}) a temperatura final do calorímetro é de 60^{\circ} \mathrm{C}(333 \mathrm{~K});
Quando a temperatura inicial do alumínio é 359^{\circ} \mathrm{C}(632 \mathrm{~K}) a temperatura final é de 80^{\circ} \mathrm{C}(353 \mathrm{~K});
A partir desses dados determine a capacidade molar do alumínio na forma de Cp. =\mathrm{a}+\mathrm{bT}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos os números do enunciado):
Calorímetro com equivalente-água de 20\\ \mathrm{g}.
Água no calorímetro: 100\\ \mathrm{g} à temperatura inicial T_{0}=25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K}.
Massa de alumínio: 100\\ \mathrm{g}.
Três experiências (todas com o mesmo calorímetro e mesmas massas):
Aluminio inicial T_{i1}=121^\circ\mathrm{C}=394\\ \mathrm{K}. Temperatura final T_{f1}=40^\circ\mathrm{C}=313\\ \mathrm{K}.
Alumínio inicial T_{i2}=243^\circ\mathrm{C}=516\\ \mathrm{K}. Temperatura final T_{f2}=60^\circ\mathrm{C}=333\\ \mathrm{K}.
Alumínio inicial T_{i3}=359^\circ\mathrm{C}=632\\ \mathrm{K}. Temperatura final T_{f3}=80^\circ\mathrm{C}=353\\ \mathrm{K}.
O que o exercício pede:
Determinar a capacidade molar do alumínio na forma \displaystyle C_p(T)=a+bT, ou seja, encontrar os coeficientes a e b (unidade: \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} para a e \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-2}} para b) usando os três dados experimentais.
Passo 2
Princípio físico e equação de balanço de calor (aula curta):
Em cada experiência, o calor perdido pelo alumínio ao esfriar desde T_i até T_f é igual ao calor ganho pela água mais o calor ganho do calorímetro (representado pelo equivalente-água).
Se n é o número de mols de Al e C_p(T) é a capacidade molar dependente da temperatura, o calor perdido pelo Al é a integral molar
Q_{\text{Al}}=n\int_{T_f}^{T_i} C_p(T)\,dT.
Para a água + equivalente-água (massa efetiva m_{\text{eff}} em gramas) assumimos capacidade térmica específica constante c_w (água líquida):
Escrever as três equações numéricas (dividi as equações por n para ficar linear em a e b). Para cada experiência calculei (T_i-T_f) e \tfrac{1}{2}(T_i^2-T_f^2).
b = \frac{N_b}{D} \approx \frac{12\,206,376}{1\,052\,433} \approx 0,011596\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-2}}.
(Arredondei os valores intermediários acima; os passos detalhados de multiplicação e subtração foram feitos para obter os números mostrados.)
Passo 6
Verificação com a terceira equação (checagem de consistência):
Inserindo a\approx 21,016 e b\approx 0,011596 na terceira equação do passo 4, obtém-se um valor muito próximo de 7459,452 (diferença residual pequena, compatível com arredondamentos). Isso confirma que os coeficientes encontrados são consistentes com os três dados experimentais.
Passo 7
Interpretação final e unidades:
Portanto a capacidade molar do alumínio, na forma linear pedida, fica (com arredondamento razoável):
com unidades \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} para C_p e \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-2}} para b. Isso significa, por exemplo, que a T=300\\ \mathrm{K} teremos C_p(300)\approx 21,02+0,01160\cdot300\approx24,5\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.