PROBLEMA EXTRA

Um calorímetro com equivalente-água de 20 gramas contém 100 gramas de água a 25^{\circ} \mathrm{C}(298 \mathrm{~K}).
  • Quando uma massa de água de 100 gramas de alumínio a 121^{\circ} \mathrm{C}(394 \mathrm{~K}) é colocada neste calorímetro a temperatura final é de 40^{\circ} \mathrm{C}(313 \mathrm{~K});
  • Quando a temperatura inicial do alumínio é 243^{\circ} \mathrm{C}(516 \mathrm{~K}) a temperatura final do calorímetro é de 60^{\circ} \mathrm{C}(333 \mathrm{~K});
  • Quando a temperatura inicial do alumínio é 359^{\circ} \mathrm{C}(632 \mathrm{~K}) a temperatura final é de 80^{\circ} \mathrm{C}(353 \mathrm{~K});
A partir desses dados determine a capacidade molar do alumínio na forma de Cp. =\mathrm{a}+\mathrm{bT}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos os números do enunciado):
  • Calorímetro com equivalente-água de 20\\ \mathrm{g}.
  • Água no calorímetro: 100\\ \mathrm{g} à temperatura inicial T_{0}=25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K}.
  • Massa de alumínio: 100\\ \mathrm{g}.
  • Três experiências (todas com o mesmo calorímetro e mesmas massas):
    1. Aluminio inicial T_{i1}=121^\circ\mathrm{C}=394\\ \mathrm{K}. Temperatura final T_{f1}=40^\circ\mathrm{C}=313\\ \mathrm{K}.
    2. Alumínio inicial T_{i2}=243^\circ\mathrm{C}=516\\ \mathrm{K}. Temperatura final T_{f2}=60^\circ\mathrm{C}=333\\ \mathrm{K}.
    3. Alumínio inicial T_{i3}=359^\circ\mathrm{C}=632\\ \mathrm{K}. Temperatura final T_{f3}=80^\circ\mathrm{C}=353\\ \mathrm{K}.
O que o exercício pede:
  • Determinar a capacidade molar do alumínio na forma \displaystyle C_p(T)=a+bT, ou seja, encontrar os coeficientes a e b (unidade: \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} para a e \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-2}} para b) usando os três dados experimentais.

Passo 2

Princípio físico e equação de balanço de calor (aula curta):
  • Em cada experiência, o calor perdido pelo alumínio ao esfriar desde T_i até T_f é igual ao calor ganho pela água mais o calor ganho do calorímetro (representado pelo equivalente-água).
  • Se n é o número de mols de Al e C_p(T) é a capacidade molar dependente da temperatura, o calor perdido pelo Al é a integral molar
Q_{\text{Al}}=n\int_{T_f}^{T_i} C_p(T)\,dT.
  • Para a água + equivalente-água (massa efetiva m_{\text{eff}} em gramas) assumimos capacidade térmica específica constante c_w (água líquida):
Q_{\text{água+cal}}=m_{\text{eff}}\,c_w\,(T_f-T_0).á
  • Balanço de energia (sem perdas):
n\int_{T_f}^{T_i} C_p(T)\,dT \;=\; m_{\text{eff}}\,c_w\,(T_f-T_0).
Explicando as variáveis:
  • n: número de mols de alumínio ( \mathrm{mol}).
  • C_p(T): capacidade molar do alumínio, que o enunciado diz que tem a forma a+bT.
  • m_{\text{eff}}: massa efetiva que absorve calor = massa da água + equivalente-água do calorímetro =100+20=120\\ \mathrm{g}.
  • c_w: capacidade térmica específica da água; usarei c_w=4,186\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}} (valor padrão).
  • T_0: temperatura inicial da água (aqui 298\\ \mathrm{K}).
  • Todas as temperaturas no integrando usam Kelvin (a forma linear em T pede uso de temperatura absoluta).

Passo 3

Aplicando C_p(T)=a+bT na integral e simplificando:
\int_{T_f}^{T_i} (a+bT)\,dT = a(T_i-T_f) + \frac{b}{2}\bigl(T_i^2-T_f^2\bigr).
Portanto, para cada experiência i vale
n\left[a(T_i-T_f)+\frac{b}{2}\bigl(T_i^2-T_f^2\bigr)\right] \;=\; m_{\text{eff}}\,c_w\,(T_f-T_0).
Agora calculamos os parâmetros numéricos comuns:
  • Massa do alumínio m_{\text{Al}}=100\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar do Al: vou usar M_{\text{Al}}=27,0\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} (valor usual aproximado). Então o número de mols é
n=\frac{m_{\text{Al}}}{M_{\text{Al}}}=\frac{100}{27,0}=3,7037037\\ \mathrm{mol}.
  • Massa efetiva m_{\text{eff}}=120\\ \mathrm{g}.
  • m_{\text{eff}}\,c_w = 120\cdot 4,186 = 502,32\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 4

Escrever as três equações numéricas (dividi as equações por n para ficar linear em a e b). Para cada experiência calculei (T_i-T_f) e \tfrac{1}{2}(T_i^2-T_f^2).
Experiência 1 ( T_{i1}=394,\\ T_{f1}=313):
  • T_{i1}-T_{f1}=81.
  • \tfrac{1}{2}(T_{i1}^2-T_{f1}^2)=\tfrac{1}{2}\cdot57267=28633,5.
  • m_{\text{eff}}c_w(T_{f1}-T_0)=502,32\cdot(313-298)=502,32\cdot15=7534,8.
    Dividindo por n:
81\,a + 28633,5\,b = \frac{7534,8}{n} = 2034,396.
Experiência 2 ( T_{i2}=516,\\ T_{f2}=333):
  • T_{i2}-T_{f2}=183.
  • \tfrac{1}{2}(T_{i2}^2-T_{f2}^2)=\tfrac{1}{2}\cdot155367=77683,5.
  • m_{\text{eff}}c_w(T_{f2}-T_0)=502,32\cdot(333-298)=502,32\cdot35=17581,2.
    Dividindo por n:
183\,a + 77683,5\,b = \frac{17581,2}{n} = 4746,924.
Experiência 3 ( T_{i3}=632,\\ T_{f3}=353):
  • T_{i3}-T_{f3}=279.
  • \tfrac{1}{2}(T_{i3}^2-T_{f3}^2)=\tfrac{1}{2}\cdot274815=137407,5.
  • m_{\text{eff}}c_w(T_{f3}-T_0)=502,32\cdot(353-298)=502,32\cdot55=27627,6.
    Dividindo por n:
279\,a + 137407,5\,b = \frac{27627,6}{n} = 7459,452.
Resumo do sistema linear (duas incógnitas, três equações — os três dados devem ser (quase) compatíveis):
\begin{cases} 81\,a + 28633,5\,b = 2034,396,\\[4pt] 183\,a + 77683,5\,b = 4746,924,\\[4pt] 279\,a + 137407,5\,b = 7459,452. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema (uso as duas primeiras equações para obter a e b; depois verifico a terceira como checagem).
Usando as duas primeiras equações:
\begin{aligned} &81\,a + 28633,5\,b = 2034,396,\\\ &183\,a + 77683,5\,b = 4746,924. \end{aligned}
Determinante (denom. da solução por eliminação):
D = 81\cdot 77683,5 - 183\cdot 28633,5 = 1\,052\,433\\ (\text{valor numérico}).é
Numerador para a:
N_a = 2034,396\cdot 77683,5 - 4746,924\cdot 28633,5 \approx 22\,117\,953,312.
Logo
a = \frac{N_a}{D} \approx \frac{22\,117\,953,312}{1\,052\,433} \approx 21,016\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Numerador para b:
N_b = 81\cdot 4746,924 - 183\cdot 2034,396 \approx 12\,206,376.
Logo
b = \frac{N_b}{D} \approx \frac{12\,206,376}{1\,052\,433} \approx 0,011596\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-2}}.
(Arredondei os valores intermediários acima; os passos detalhados de multiplicação e subtração foram feitos para obter os números mostrados.)

Passo 6

Verificação com a terceira equação (checagem de consistência):
  • Inserindo a\approx 21,016 e b\approx 0,011596 na terceira equação do passo 4, obtém-se um valor muito próximo de 7459,452 (diferença residual pequena, compatível com arredondamentos). Isso confirma que os coeficientes encontrados são consistentes com os três dados experimentais.

Passo 7

Interpretação final e unidades:
  • Portanto a capacidade molar do alumínio, na forma linear pedida, fica (com arredondamento razoável):
C_p(T)=a+bT,\quad a\approx21,02,\quad b\approx0,01160,
com unidades \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} para C_p e \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-2}} para b. Isso significa, por exemplo, que a T=300\\ \mathrm{K} teremos C_p(300)\approx 21,02+0,01160\cdot300\approx24,5\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Resposta

\displaystyle C_p(T)=21,02+0,01160\,T\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

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