Num processo isotérmico, três mols de gás ideal a 20^{\circ} \mathrm{C} e pressão inicial de 3 bar expandem até a pressão externa de 1 bar. Calcule o calor fornecido ao gás para manter a temperatura constante.

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:
  • Quantidade de gás: n = 3 mol.
  • Temperatura: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão inicial do gás: P_i = 3\\ \mathrm{bar}.
  • A expansão ocorre até que a pressão externa seja 1\\ \mathrm{bar}. (Ou seja, o gás termina à pressão P_f = 1\\ \mathrm{bar}.)
  • Processo: isotérmico (temperatura constante).
Pergunta: Calcular o calor fornecido ao gás para manter a temperatura constante (ou seja, encontrar Q).

Passo 2

Escolha do método e conceitos fundamentais (explicação didática):
  • Regra importante (Primeira Lei da Termodinâmica): \Delta U = Q - W, onde \Delta U é a variação da energia interna do gás, Q é o calor fornecido ao sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema. Vou usar essa fórmula para ligar calor e trabalho.
  • Para um gás ideal, a energia interna depende só da temperatura. Como a transformação é isotérmica (temperatura constante), temos \Delta U = 0. Portanto, da primeira lei segue que
Q = W.
Isto é: o calor fornecido ao gás é igual ao trabalho realizado pelo gás durante a expansão. Vou então calcular o trabalho.
  • Sobre o tipo de trabalho: o enunciado diz que o gás expande "até a pressão externa de 1\\ \mathrm{bar}". Isso descreve uma expansão contra uma pressão externa constante igual a 1\\ \mathrm{bar} — portanto a expansão é irreversível e o trabalho é dado por
W = P_{\text{ext}}\,(V_f - V_i),
onde P_{\text{ext}} é a pressão externa constante. Aqui P_{\text{ext}} = 1\\ \mathrm{bar} = P_f. (Observação: se a transformação fosse reversível, usaríamos W = nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right); porém esse não é o caso aqui, então usamos P_{\text{ext}}\Delta V.)

Passo 3

Aplicando a equação dos gases ideais para obter volumes iniciais e finais:
  • Convertemos temperatura e pressões para unidades SI:
T = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad 1\\ \mathrm{bar} = 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Logo
P_i = 3\\ \mathrm{bar} = 3\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad P_f = 1\\ \mathrm{bar} = 1\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Lei dos gases ideais:
PV = nRT,
onde P é a pressão (Pa), V o volume (m³), n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura (K). Aqui R = 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Calculamos nRT primeiro:
nRT = 3\cdot 8{,}314\cdot 293{,}15 = 7311{,}8763\\ \mathrm{J}.
  • Volumes inicial e final:
V_i = \frac{nRT}{P_i} = \frac{7311{,}8763}{3\times 10^{5}} = 0{,}0243729\\ \mathrm{m^3},
V_f = \frac{nRT}{P_f} = \frac{7311{,}8763}{1\times 10^{5}} = 0{,}0731188\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Cálculo do trabalho realizado pelo gás (usando W = P_{\text{ext}}(V_f - V_i)):
  • Diferença de volumes:
V_f - V_i = 0{,}0731188 - 0{,}0243729 = 0{,}0487459\\ \mathrm{m^3}.
  • Trabalho (lembre que P_{\text{ext}} = P_f = 1\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
W = P_{\text{ext}}(V_f - V_i) = 1\times 10^{5}\cdot 0{,}0487459 = 4874{,}5842\\ \mathrm{J}.
  • Checagem alternativa (fórmula equivalente obtida algebricamente): usando V_i = \dfrac{nRT}{P_i} e V_f = \dfrac{nRT}{P_f} obtemos
W = P_f\bigg(\frac{nRT}{P_f}-\frac{nRT}{P_i}\bigg) = nRT\Big(1-\frac{P_f}{P_i}\Big).
Substituindo P_f/P_i = 1/3
W = nRT\Big(1-\tfrac{1}{3}\Big) = nRT\cdot \tfrac{2}{3} = 7311{,}8763\cdot \tfrac{2}{3} = 4874{,}5842\\ \mathrm{J},
mesmo resultado — ótimo.

Passo 5

Concluindo o calor fornecido:
  • Como a transformação é isotérmica para gás ideal temos \Delta U = 0 e, portanto, Q = W. Assim
Q = 4874{,}5842\\ \mathrm{J}\approx 4{,}87\times 10^{3}\\ \mathrm{J}\approx 4{,}87\\ \mathrm{kJ}.
  • Interpretação física rápida e incentivo: o valor positivo significa que calor foi fornecido ao gás (ele recebeu energia térmica) para permitir que ele realizasse o trabalho de expansão mantendo a temperatura constante. Mandou bem até aqui — mesmo parecendo muito cálculo, a ideia é sempre usar a primeira lei e escolher corretamente a expressão do trabalho conforme o tipo de processo.

Resposta

Q = 4{,}87\times 10^{3}\\ \mathrm{J}

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