Um gás é comprimido de 0,10 \mathrm{~m}^{3} a 0,02 \mathrm{m}^{3} a pressão constante de 250 kPa . Calcule o trabalho realizado sobre o gás durante essa compressão.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o trabalho realizado sobre um gás quando ele é comprimido. Dados fornecidos: a pressão é constante igual a 250\\ \mathrm{kPa}; o volume inicial é V_i = 0,10\\ \mathrm{m}^3; o volume final é V_f = 0,02\\ \mathrm{m}^3. A tarefa é obter o trabalho realizado sobre o gás durante essa compressão.

Passo 2

Conceito e fórmula (passo-a-passo didático). Para um processo a pressão constante, o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente é dado pela integral
W_{\text{pelo gás}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.á
Como a pressão é constante, essa integral simplifica para
W_{\text{pelo gás}}=P\,(V_f-V_i).á
Importante: existem duas convenções de sinal. Aqui vou usar a convenção comum em termodinâmica:
  • Se o gás realiza trabalho sobre o ambiente, W_{\text{pelo gás}}>0á.
  • Se o trabalho é realizado sobre o gás (compressão), o trabalho realizado pelo gás será negativo e o trabalho sobre o gás é o negativo desse valor.
    Ou seja, o trabalho realizado sobre o gás é
W_{\text{sobre o gás}}=-W_{\text{pelo gás}}=-P\,(V_f-V_i)=P\,(V_i-V_f).áá
Isso faz sentido: na compressão V_i>V_f, então V_i-V_f>0 e o trabalho sobre o gás fica positivo (energia entra no gás).

Passo 3

Calcular a variação de volume e o trabalho pelo gás passo a passo. Primeiro a variação de volume:
\Delta V = V_f - V_i = 0,02\\ \mathrm{m}^3 - 0,10\\ \mathrm{m}^3 = -0,08\\ \mathrm{m}^3.
Agora calcular o trabalho realizado pelo gás:
W_{\text{pelo gás}} = P\,\Delta V = 250\\ \mathrm{kPa}\times(-0,08\\ \mathrm{m}^3).á
Converter 250\\ \mathrm{kPa} para pascal para obter joules:
250\\ \mathrm{kPa} = 250\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Então
W_{\text{pelo gás}} = 250\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}\times(-0,08\\ \mathrm{m}^3) = -2{,}0\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.á
Ou, em unidades mais usuais,
W_{\text{pelo gás}} = -20\\ \mathrm{kJ}.á

Passo 4

Calcular o trabalho realizado sobre o gás usando W_{\text{sobre o gás}}=-W_{\text{pelo gás}}áá. Assim,
W_{\text{sobre o gás}} = -(-2{,}0\times 10^{4}\\ \mathrm{J}) = 2{,}0\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.á
Em quilojoules isso é 20\\ \mathrm{kJ}. Um comentário final: o sinal positivo indica que energia foi transferida para o gás (compressão).

Resposta

2{,}0\times 10^{4}\\ \mathrm{J} = 20\\ \mathrm{kJ}

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