Qual é a temperatura final do metano quando uma quantidade de calor igual a 10^{6} \mathrm{Btu}\left[1,05510^{6} \mathrm{~kJ}\right] é adicionada para 50 \mathrm{lbmol}\left[22,6810^{3} \mathrm{~mol}\right], inicialmente a 500^{\circ} \mathrm{F}\left[260^{\circ} \mathrm{C}\right], num trocador de calor a fluxo permanente e a pressão atmosférica.
1^{\mathrm{a}} lei para fluxo permanente resulta: \Delta H=Q. A P constante: \Delta H=n \int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{P} d T, e nas baixas P
(atmosférica): \Delta H=n \int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{P}^{g i} d T R=8,314 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~mol} \mathrm{~K}}=1,986 \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbmolR}};
T(\mathrm{R})=t\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right)+459,67 \mathrm{e} T(\mathrm{~K})=t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+273,15. Buscar na literatura expressão para C_{P}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Quantidade de calor adicionada: Q=10^{6}\\ \mathrm{Btu}.
  • Quantidade de substância: n=50\\ \mathrm{lbmol} (o enunciado também dá a equivalência n=22{,}681\times10^{3}\\ \mathrm{mol}).
  • Temperatura inicial: t_{1}=500^\circ\mathrm{F} (também indicada como 260^\circ\mathrm{C}).
  • Processo: trocador de calor a fluxo permanente, pressão atmosférica, e o enunciado já diz que pela 1ª lei para fluxo permanente vale \Delta H = Q.
  • Relação que vamos usar (a P constante e gás ideal): \Delta H = n\int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{P}(T)\,dT.
O que o problema pede: a temperatura final T_{2} do metano (apresentei os dados de temperatura inicial e Q acima). O enunciado sugere buscar na literatura a expressão para c_{P}. Como não foi fornecida uma expressão explícita aqui, vou mostrar um procedimento prático e didático para calcular T_{2} usando uma aproximação sensata (muito usada em provas quando se pede estimativa sem tabela à mão): assumir um valor médio de c_{P} por mol e calcular. Vou explicar por que isso é razoável e como melhorar o resultado se você tiver a expressão c_{P}(T).

Passo 2

Converter unidades para trabalhar em SI (J e mol), porque as contas ficam diretas e fáceis de entender.
  • Converter Q para joules. 1\\ \mathrm{Btu}=1{,}05505585\\ \mathrm{kJ}=1{,}055{,}055{,}85\\ \mathrm{J}. Assim,
Q = 10^{6}\\ \mathrm{Btu} = 10^{6}\times 1{,}055{,}055{,}85\\ \mathrm{J} = 1{,}055{,}055{,}850\\ \mathrm{J}\approx 1{,}055{,}055{,}850\\ \mathrm{J}.
(para manter número legível vou usar Q=1{,}055\times10^{9}\\ \mathrm{J} nas contas numéricas).
  • Converter n para mol (o enunciado já deu): n=50\\ \mathrm{lbmol}=22{,}679{,}6\\ \mathrm{mol} (usando 1\\ \mathrm{lbmol}=453{,}59237\\ \mathrm{mol}). Vou usar n=22{,}679{,}62\\ \mathrm{mol} (arredondamento compatível).
  • Converter temperatura inicial para kelvin:
t_{1}=260^\circ\mathrm{C}\Rightarrow T_{1}=260+273{,}15=533{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular a energia adicionada por mol (variação de entalpia por mol), que é a quantidade que cada mol “recebe” em média:
\Delta \bar{h}=\frac{Q}{n}.
Substituindo numéricos,
\Delta \bar{h}=\frac{1{,}055\times10^{9}\\ \mathrm{J}}{22{,}679{,}62\\ \mathrm{mol}} \approx 4{,}6552\times10^{4}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}}=46{,}552\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{mol}}.
Isto significa que, por mol de metano, a entalpia aumentou em \approx 46{,}6\\ \mathrm{kJ/mol}.

Passo 4

Explicar o papel de c_{P} e a aproximação que vamos usar.
  • c_{P}(T) é a capacidade calorífica molar a pressão constante, em unidades de \mathrm{J/(mol\cdot K)}. A integral \int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{P}(T)\,dT dá a variação molar de entalpia \Delta \bar{h}.
  • Se tivéssemos uma expressão precisa c_{P}(T) (por exemplo, uma polinomial tipo Shomate ou os coeficientes NASA), integraríamos explicitamente e resolveríamos \Delta \bar{h}= \int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{P}(T)\,dT para T_{2}.
  • Quando não se tem a tabela à mão, uma aproximação razoável é usar um valor médio para c_{P} sobre o intervalo de temperaturas, isto é, aproximar
\int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{P}(T)\,dT \approx \bar{c}_{P}\,(T_{2}-T_{1}),
onde \bar{c}_{P} é um valor representativo (média) de c_{P} entre T_{1} e T_{2}. Essa aproximação é comum em provas para estimativas rápidas e funciona bem quando c_{P}(T) não varia de forma extrema no intervalo considerado.
Comentário prático: o valor de c_{P} molar do metano em temperatura ambiente é aproximadamente \,c_{P,m}(298\\ \mathrm{K})\approx 35{,}7\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Em temperaturas altas c_{P} cresce, então um valor médio razoável em um aquecimento grande costuma ficar entre 35 e 50\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Vou adotar um valor intermediário \bar{c}_{P}=43\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} como aproximação representativa — explico a sensibilidade depois.

Passo 5

Usar a aproximação com \bar{c}_{P} constante: \Delta \bar{h} \approx \bar{c}_{P}\,(T_{2}-T_{1}).
Isolando T_{2}:
T_{2} \approx T_{1} + \frac{\Delta \bar{h}}{\bar{c}_{P}}.
Substituindo números (usando \Delta \bar{h}=4{,}6552\times10^{4}\\ \mathrm{J/mol} e \bar{c}_{P}=43\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}):
T_{2} \approx 533{,}15 + \frac{4{,}6552\times10^{4}}{43}\\ \mathrm{K}.
Calcule o incremento:
\frac{4{,}6552\times10^{4}}{43}\approx 1{,}082{,}60\times10^{3}\\ \mathrm{K}=1082{,}60\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{2}\approx 533{,}15 + 1082{,}60 = 1615{,}75\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Converter a temperatura final para as escalas usuais e comentar a aproximação.
  • Em Celsius:
t_{2}=T_{2}-273{,}15\approx 1615{,}75-273{,}15=1342{,}60^\circ\mathrm{C}.
  • Em Fahrenheit:
t_{2}(^\circ\mathrm{F})=t_{2}(^\circ\mathrm{C})\times\frac{9}{5}+32\approx 1342{,}60\times\frac{9}{5}+32\approx 2448{,}69^\circ\mathrm{F}.
Comentário sobre precisão: se o leitor tiver a expressão de c_{P}(T) (por exemplo, os coeficientes Shomate/NASA para \mathrm{CH_{4}}) a forma correta é integrar essa função e resolver para T_{2}. Isso costuma alterar o resultado numa margem de algumas dezenas a algumas centenas de graus, dependendo do intervalo. Para dar uma ideia da sensibilidade: se em vez de \bar{c}_{P}=43 usássemos \bar{c}_{P}=35{,}7 (valor em 298 K) obteríamos T_{2}\approx 1863\\ \mathrm{K}; se usássemos \bar{c}_{P}=50 obteríamos T_{2}\approx 1464\\ \mathrm{K}. Ou seja, a estimativa está na faixa de 1{,}45\times10^{3} a 1{,}86\times10^{3}\\ \mathrm{K} dependendo do \bar{c}_{P} escolhido. Escolhi \bar{c}_{P}=43\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} como compromisso razoável.

Resposta

T_{2}\approx 1616\\ \mathrm{K}\\ (\approx 1343^\circ\mathrm{C}\approx 2449^\circ\mathrm{F}) (estimativa usando \bar{c}_{P}=43\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}).

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