Qual é a temperatura final do metano quando uma quantidade de calor igual a
é adicionada para
, inicialmente a
, num trocador de calor a fluxo permanente e a pressão atmosférica.
lei para fluxo permanente resulta:
. A
constante:
, e nas baixas
(atmosférica):
;
. Buscar na literatura expressão para
.
(atmosférica):
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Quantidade de calor adicionada:
. - Quantidade de substância:
(o enunciado também dá a equivalência ). - Temperatura inicial:
(também indicada como ). - Processo: trocador de calor a fluxo permanente, pressão atmosférica, e o enunciado já diz que pela 1ª lei para fluxo permanente vale
. - Relação que vamos usar (a
constante e gás ideal):
O que o problema pede: a temperatura final
do metano (apresentei os dados de temperatura inicial e
acima). O enunciado sugere buscar na literatura a expressão para
. Como não foi fornecida uma expressão explícita aqui, vou mostrar um procedimento prático e didático para calcular
usando uma aproximação sensata (muito usada em provas quando se pede estimativa sem tabela à mão): assumir um valor médio de
por mol e calcular. Vou explicar por que isso é razoável e como melhorar o resultado se você tiver a expressão
.
Passo 2
Converter unidades para trabalhar em SI (J e mol), porque as contas ficam diretas e fáceis de entender.
- Converter
para joules. . Assim,
(para manter número legível vou usar
nas contas numéricas).
-
Converter
para mol (o enunciado já deu): (usando ). Vou usar (arredondamento compatível). -
Converter temperatura inicial para kelvin:
Passo 3
Calcular a energia adicionada por mol (variação de entalpia por mol), que é a quantidade que cada mol “recebe” em média:
Substituindo numéricos,
Isto significa que, por mol de metano, a entalpia aumentou em
.
Passo 4
Explicar o papel de
e a aproximação que vamos usar.
-
é a capacidade calorífica molar a pressão constante, em unidades de . A integral dá a variação molar de entalpia . - Se tivéssemos uma expressão precisa
(por exemplo, uma polinomial tipo Shomate ou os coeficientes NASA), integraríamos explicitamente e resolveríamos para . - Quando não se tem a tabela à mão, uma aproximação razoável é usar um valor médio para
sobre o intervalo de temperaturas, isto é, aproximar
onde
é um valor representativo (média) de
entre
e
. Essa aproximação é comum em provas para estimativas rápidas e funciona bem quando
não varia de forma extrema no intervalo considerado.
Comentário prático: o valor de
molar do metano em temperatura ambiente é aproximadamente
. Em temperaturas altas
cresce, então um valor médio razoável em um aquecimento grande costuma ficar entre
e
. Vou adotar um valor intermediário
como aproximação representativa — explico a sensibilidade depois.
Passo 5
Usar a aproximação com
constante:
Isolando
:
Substituindo números (usando
e
):
Calcule o incremento:
Logo
Passo 6
Converter a temperatura final para as escalas usuais e comentar a aproximação.
- Em Celsius:
- Em Fahrenheit:
Comentário sobre precisão: se o leitor tiver a expressão de
(por exemplo, os coeficientes Shomate/NASA para
) a forma correta é integrar essa função e resolver para
. Isso costuma alterar o resultado numa margem de algumas dezenas a algumas centenas de graus, dependendo do intervalo. Para dar uma ideia da sensibilidade: se em vez de
usássemos
(valor em 298 K) obteríamos
; se usássemos
obteríamos
. Ou seja, a estimativa está na faixa de
a
dependendo do
escolhido. Escolhi
como compromisso razoável.