Prove que T2T1=(P2P1)^RCp.

Passo 1

O enunciado pede para provar a relação entre temperaturas e pressões num processo adiabático reversível de um gás ideal:
O conteúdo que vamos usar é
– a primeira lei da termodinâmica para processo adiabático ( ),
– a definição de calor específico ( ),
– o trabalho ,
– e a equação de estado .

Passo 2

Escrevendo a primeira lei para processo adiabático e usando e , temos
Como , substituímos e dividimos por :
Integrando de até :
Como com , obtemos
ou seja

Passo 3

Da equação de estado P,V=m,R,T segue
P2P1 =T2/V2T1/V1 =T2T1;V1V2 Longrightarrow V1V2 =P2P1;T1T2
Substituindo em T2T1=(V1/V2)^,k-1
T2T1 =l(P2P1;T1T2r)^k-1 =(tfracP2P1)^k-1; (tfracT1T2)^k-1
Reorganizando,
l(T2T1r)^k =(tfracP2P1)^,k-1

Passo 4

Tomando raiz k-ésima em ambos os lados,
T2T1 =l(P2P1r)^k-1k
Mas k-1k=R/CvCp/Cv=RCp. Portanto

Resposta

T2T1 =l(P2P1r)^RCp

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