Um sistema pistão cilindro contém 5 kg de água a uma pressão de 100 kPa . Inicialmente, 2 kg de água se encontram na fase líquida e o restante na de vapor. Calor é então transferido para o sistema e o pistão, que estava posicionado em um esbarro, começa a se mover quando a pressão atinge 200 kPa . Calor continua sendo transferido ao sistema até que o volume total aumente de 20 \%. Nessas condições determine:
(a) Qual a fase inicial? Dê todas as propriedades para o estado inicial;
(b) a temperatura inicial e final ( { }^{\circ} \mathrm{C} );
(c) a massa de líquido quando o pistão começa a se deslocar (kg);
(d) o trabalho realizado durante o processo de expansão (kJ);
(e) Mostre o processo em diagrama P - \square, com as respectivas linhas de saturação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Massa total: m=5\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão inicial: P_1=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Inicialmente há 2\\ \mathrm{kg} na fase líquida e 3\\ \mathrm{kg} na fase de vapor.
  • O pistão está travado (esbarro) até que a pressão alcance 200\\ \mathrm{kPa}.
  • Quando a pressão atinge 200\\ \mathrm{kPa} o pistão começa a se mover; após isso o aquecimento continua até que o volume total aumente 20\% em relação ao volume inicial.
O enunciado pede:
(a) identificar a fase inicial e fornecer todas as propriedades do estado inicial;
(b) determinar a temperatura inicial e a temperatura final (em ^\circ\mathrm{C});
(c) massa de líquido presente no instante em que o pistão começa a se deslocar (kg);
(d) trabalho realizado durante todo o processo de expansão (kJ);
(e) mostrar o processo num diagrama P v com as linhas de saturação (descrever a trajetória).
Observação: vou usar propriedades de água/ vapor saturado obtidas das tabelas padrão de vapor (valores numéricos de v_f, v_g, T_{sat} para as pressões dadas). Quando eu usar esses números, direi explicitamente de onde vieram (tabela).

Passo 2

Determinar a fase inicial e propriedades básicas (usar tabelas de vapor saturado em P_1=100\\ \mathrm{kPa}).
Explicação didática rápida: quando coexistem líquido e vapor à mesma pressão, o estado é uma mistura saturada; as tabelas fornecem para cada pressão a temperatura de saturação T_{sat}, o volume específico do líquido saturado v_f e do vapor saturado v_g. A qualidade x é a fração mássica de vapor: \;x=\dfrac{m_{\text{vapor}}}{m_{\text{total}}}.
Cálculo da qualidade inicial:
x_1=\frac{m_{\text{vapor}}}{m}=\frac{3}{5}=0{,}6.
Valores da tabela (retirados da tabela de vapor saturado para P=100\\ \mathrm{kPa}):
T_{sat}(100\\ \mathrm{kPa})=99{,}61^\circ\mathrm{C},\qquad v_f(100\\ \mathrm{kPa})=0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg},\qquad v_g(100\\ \mathrm{kPa})=1{,}6940\\ \mathrm{m^3/kg}.
(estes números são os valores padrão de tabela; usarei 4 casas decimais para consistência).
Agora calculo o volume total inicial V_1 e o volume específico médio v_1:
V_1=m_f v_f+m_g v_g = 2\cdot 0{,}001043 + 3\cdot 1{,}6940 = 0{,}002086 + 5{,}0820 = 5{,}084086\\ \mathrm{m^3}.
v_1=\frac{V_1}{m}=\frac{5{,}084086}{5}=1{,}0168172\\ \mathrm{m^3/kg}.
Conclusão deste passo:
  • O estado inicial é uma mistura saturada (líquido + vapor) à pressão \;P_1=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Qualidade \;x_1=0{,}6.
  • Temperatura de saturação \;T_1=T_{sat}(100\\ \mathrm{kPa})=99{,}61^\circ\mathrm{C}.
  • v_f(100\\ \mathrm{kPa})=0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg}, v_g(100\\ \mathrm{kPa})=1{,}6940\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Volume total inicial \;V_1=5{,}084086\\ \mathrm{m^3}.
  • Volume específico inicial \;v_1=1{,}0168172\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 3

Descrever a sequência do processo e as hipóteses físicas (por que o processo é esse).
Explicação física e método de resolução:
  • Enquanto o pistão está travado (esbarro), o volume total do sistema é constante. Logo, o aquecimento inicial até que P=200\\ \mathrm{kPa} ocorre a volume constante ( V= const). Em processo a volume constante não há trabalho de pressão-volume ( W_{V=\text{const}}=0 ).
  • Assim que P atinge 200\\ \mathrm{kPa} o pistão começa a se mover; depois disso, supondo que o pistão está equilibrado com uma pressão externa equivalente a 200\\ \mathrm{kPa}, a expansão subsequente enquanto se adiciona calor será aproximadamente a pressão constante P=200\\ \mathrm{kPa}.
  • O aquecimento continua até que o volume total final seja V_2=1{,}2\,V_1 (aumento de 20\%).
Portanto o processo é composto de duas etapas:
  1. Aquecimento a volume constante de P=100\\ \mathrm{kPa} até P=200\\ \mathrm{kPa}.
  2. Aquecimento a pressão constante P=200\\ \mathrm{kPa} de V_1 até V_2=1{,}2V_1.

Passo 4

Determinar a massa de líquido no instante em que o pistão começa a se deslocar (resposta do item (c)).
Raciocínio didático:
  • No instante em que o pistão começa a mover-se a pressão é P=200\\ \mathrm{kPa} e o volume ainda é V_1 (porque o pistão só começa a se mover nesse instante). Portanto a condição instantânea é: pressão 200\\ \mathrm{kPa} com volume total V_1 (volume específico v_1 calculado no Passo 2).
  • Para saber se ainda há líquido nessa condição, comparamos v_1 com os volumes específicos saturados à pressão 200\\ \mathrm{kPa}. Se v_1 for menor que v_g(200\\ \mathrm{kPa}) então ainda haveria um misto; se v_1\ge v_g(200\\ \mathrm{kPa}) então todo o sistema já é vapor saturado (ou superaquecido) — ou seja, não há líquido.
Valores da tabela para P=200\\ \mathrm{kPa} (tabela de vapor saturado):
T_{sat}(200\\ \mathrm{kPa})=120{,}23^\circ\mathrm{C},\qquad v_f(200\\ \mathrm{kPa})\approx 0{,}001061\\ \mathrm{m^3/kg},\qquad v_g(200\\ \mathrm{kPa})\approx 0{,}88578\\ \mathrm{m^3/kg}.
Comparação:
v_1=1{,}0168172\\ \mathrm{m^3/kg}\quad\text{e}\quad v_g(200\\ \mathrm{kPa})\approx 0{,}88578\\ \mathrm{m^3/kg}.
Como v_1>v_g(200\\ \mathrm{kPa}), o estado correspondente a P=200\\ \mathrm{kPa} e v=v_1 está na região de vapor superaquecido (isto é, já não existe líquido). Outra maneira: se tentarmos calcular a qualidade hipotética a 200\\ \mathrm{kPa},
x=\frac{v_1-v_f(200)}{v_g(200)-v_f(200)}=\frac{1{,}0168172-0{,}001061}{0{,}88578-0{,}001061}\approx 1{,}15>1,
o que confirma que é vapor superaquecido.
Conclusão:
  • No instante em que P alcança 200\\ \mathrm{kPa} o sistema já se tornou todo vapor; portanto a massa de líquido naquele instante é
\boxed{m_{\text{líquido no início do movimento}}=0\\ \mathrm{kg}.}íí
Observação intuitiva: toda a água líquida evaporou durante o aquecimento a volume constante, antes do pistão começar a se mover.

Passo 5

Determinar as temperaturas inicial e final (item (b)): T_{inicial} e T_{final}.
Temperatura inicial:
  • Como o estado inicial é uma mistura saturada a P_1=100\\ \mathrm{kPa}, sua temperatura é a temperatura de saturação:
T_1=T_{sat}(100\\ \mathrm{kPa})=99{,}61^\circ\mathrm{C}.
Temperatura final:
  • O estado final tem pressão P_2=200\\ \mathrm{kPa} (pois depois que o pistão começa a se mover a pressão permanece 200\\ \mathrm{kPa} durante a expansão decorrente do aquecimento) e volume específico final
v_2=\frac{V_2}{m}=\frac{1{,}2V_1}{m}=1{,}2\,v_1=1{,}2\cdot 1{,}0168172=1{,}2201806\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Como v_2>v_g(200\\ \mathrm{kPa}) (veja Passo 4), o estado final está na região de vapor superaquecido. Para determinar a temperatura final neste caso precisamos usar a tabela de vapor superaquecido (ou uma aproximação). Uma aproximação simples e adequada aqui é usar a equação dos gases perfeitos para vapor molécularmente aproximado:
Pv=R T,
onde R para a água é R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. (Explicando: esta é a forma do gás ideal, com P em kPa, v em \mathrm{m^3/kg} e R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}; o produto P v tem unidades de kJ/kg.)
Aplicando:
T_2=\frac{P_2 v_2}{R}=\frac{200\cdot 1{,}2201806}{0{,}4615}=\frac{244{,}03612}{0{,}4615}\approx 528{,}7\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius:
T_2\approx 528{,}7-273{,}15\approx 255{,}6^\circ\mathrm{C}.
Observação sobre precisão: o uso do gás ideal aqui fornece uma boa estimativa; uma leitura direta da tabela de vapor superaquecido para P=200\\ \mathrm{kPa} e v=1{,}2202\\ \mathrm{m^3/kg} forneceria um valor de T_2 próximo (mesma ordem de magnitude). O que importa termodinamicamente para o problema é identificar que T_2 é bem maior que T_{sat}(200\\ \mathrm{kPa})=120{,}23^\circ\mathrm{C}, ou seja, estado superaquecido.

Passo 6

Calcular o trabalho realizado durante o processo (item (d)).
Explicação didática do método:
  • Trabalho total W é a integral W=\int P\,dV ao longo do processo.
  • No trecho 1 (aquecimento a volume constante até 200\\ \mathrm{kPa}) tem dV=0 então W_1=0.
  • No trecho 2 (expansão isobárica a P=200\\ \mathrm{kPa} de V_1 para V_2) o trabalho é simplesmente
W_2=P_2\,(V_2-V_1).
  • Logo W=W_1+W_2=P_2\,(V_2-V_1).
Cálculo numérico:
V_2=1{,}2\,V_1,\quad V_2-V_1=0{,}2\,V_1.
W=P_2\cdot 0{,}2\,V_1 =0{,}2\cdot 200\\ \mathrm{kPa}\cdot V_1 =40\\ \mathrm{kPa}\cdot V_1.
Substituindo V_1=5{,}084086\\ \mathrm{m^3}:
W=40\cdot 5{,}084086=203{,}36344\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando de forma prática para a prova:
\boxed{W\approx 203{,}36\\ \mathrm{kJ}}.
Nota: usei 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m^3}=1\\ \mathrm{kJ} para converter unidades.

Passo 7

Desenho e descrição do diagrama P v com linhas de saturação (item (e)) — descrição para que se possa traçar a figura na prova.
Como desenhar:
  • Eixos: vertical P (kPa), horizontal v ( \mathrm{m^3/kg}).
  • Desenhe a curva de saturação (domo) com a linha da saturação líquida à esquerda e da saturação vapor à direita; marque os pontos de saturação para P=100\\ \mathrm{kPa} e P=200\\ \mathrm{kPa} (as isóbaras horizontais cortam o domo).
  • Marcar o estado inicial 1: está dentro do domo (mistura), em P_1=100\\ \mathrm{kPa} e v_1=1{,}0168\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Trajetória do processo:
    1. De 1 subir verticalmente (linha v= constante) até P=200\\ \mathrm{kPa}. Essa linha vertical atravessa o domo e sai para a região de vapor superaquecido antes de atingir 200\\ \mathrm{kPa} — isto é, toda a massa líquida evapora durante essa subida vertical. Quando a vertical cruza a linha da saturação à direita, é o ponto onde a última gota de líquido evapora.
    2. A partir do ponto onde a vertical atinge P=200\\ \mathrm{kPa} e v=v_1 (agora estado de vapor superaquecido), segue-se uma linha horizontal (isobárica, P=200\\ \mathrm{kPa}) para a direita até v=v_2=1{,}22018\\ \mathrm{m^3/kg} (ponto final).
  • No diagrama, rotule: T_{sat}(100\\ \mathrm{kPa})=99{,}61^\circ\mathrm{C} na interseção com a isóbara 100\\ \mathrm{kPa}, e T_{sat}(200\\ \mathrm{kPa})=120{,}23^\circ\mathrm{C} na isóbara 200\\ \mathrm{kPa}. Indique claramente a região de mistura (dentro do domo) e a região de vapor superaquecido (à direita do domo).
Isso completa a indicação gráfica do processo pedido.

Resposta

(a) Estado inicial: mistura saturada (líquido+vapor) a P_1=100\\ \mathrm{kPa}. Propriedades principais: T_1=T_{sat}(100\\ \mathrm{kPa})=99{,}61^\circ\mathrm{C}, v_f(100\\ \mathrm{kPa})=0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg}, v_g(100\\ \mathrm{kPa})=1{,}6940\\ \mathrm{m^3/kg}, qualidade x_1=0{,}6, volume total V_1=5{,}084086\\ \mathrm{m^3}, volume específico v_1=1{,}0168172\\ \mathrm{m^3/kg}.
(b) Temperaturas: T_{inicial}=99{,}61^\circ\mathrm{C}. T_{final}\approx 255{,}6^\circ\mathrm{C} (estado final: vapor superaquecido a P=200\\ \mathrm{kPa} e v_2=1{,}2201806\\ \mathrm{m^3/kg}).
(c) Massa de líquido quando o pistão começa a se deslocar: 0\\ \mathrm{kg}.
(d) Trabalho realizado durante o processo: W\approx 203{,}36\\ \mathrm{kJ}.
(e) Diagrama P v: trajetória vertical a v=v_1 de P=100\\ \mathrm{kPa} até P=200\\ \mathrm{kPa} (aquecimento a V constante, atravessa o domo de saturação e evapora todo o líquido) seguida de uma linha horizontal a P=200\\ \mathrm{kPa} até v=v_2=1{,}22018\\ \mathrm{m^3/kg} (expansão isobárica). No diagrama, desenhar o domo de saturação e marcar T_{sat}(100\\ \mathrm{kPa})=99{,}61^\circ\mathrm{C} e T_{sat}(200\\ \mathrm{kPa})=120{,}23^\circ\mathrm{C}.

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