Questão-01 - (Unicamp SP)

Considere os conjuntos
A=\left\{x \in R \mid x^{2}-2 x-24<0\right\} e
B=\{x \in R \mid 2 x-7 \leq 0\}.
Quantos números inteiros pertencem à interseção \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ?
a) 3 .
b) 5 .
c) 7 .
d) 9 .

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos números inteiros pertencem à interseção A\cap B?”.
Informações dadas:
  • A=\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-2x-24<0\}.
  • B=\{x\in\mathbb{R}\mid 2x-7\le 0\}.

Passo 2

Resolver a desigualdade quadrática que define A: x^{2}-2x-24<0.
Primeiro fatoro o polinômio x^{2}-2x-24. Procuro dois números cuja soma é -2 e produto é -24. Esses números são -6 e 4. Logo,
x^{2}-2x-24=(x-6)(x+4).

Passo 3

A partir da fatoração, os zeros do polinômio são x=6 e x=-4. Como o coeficiente de x^{2} é positivo (parábola abre para cima), a expressão (x-6)(x+4) é negativa entre as raízes e positiva fora delas. Portanto a solução da desigualdade é o intervalo aberto entre as raízes:
A=\{x\in\mathbb{R}\mid -4<x<6\}.

Passo 4

Resolver a desigualdade linear que define B: 2x-7\le 0.
Isolo x:
2x\le 7 \quad\Rightarrow\quad x\le \frac{7}{2}.
Portanto
B=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le \tfrac{7}{2}\}.

Passo 5

Faço a interseção A\cap B. Como A é -4<x<6 e B é x\le\tfrac{7}{2}, e \tfrac{7}{2}=3{,}5<6, a interseção é
A\cap B=\{x\in\mathbb{R}\mid -4<x\le \tfrac{7}{2}\}.

Passo 6

Agora conto os números inteiros em -4<x\le \tfrac{7}{2}. Inteiros maiores que -4 são -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots. Mas deve valer também x\le \tfrac{7}{2}=3{,}5, então o maior inteiro permitido é 3. Assim os inteiros da interseção são
-3,\\\ -2,\\\ -1,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 2,\\\ 3,
que são 7 números inteiros.

Resposta

c) 7.

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