QUESTÃO 02 (60%) Um metro cúbico de um gás perfeito a 500 K e 2.000 kPa expande-se até um estado final em que o volume é 10 vezes superior ao volume inicial. Para cada um dos processos abaixo calcule a temperatura final, a pressão final e o trabalho realizado pelo gás.
b) Um processo reversível e adiabático; =
b) Um processo reversível e adiabático; =
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um gás perfeito que está se expandindo de forma reversível e adiabática. Vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, como processos adiabáticos e a relação entre pressão, volume e temperatura nesses processos. Nosso objetivo é encontrar a temperatura final, a pressão final e o trabalho realizado pelo gás quando ele expande para um volume 10 vezes maior que o inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um processo adiabático. Um processo adiabático é aquele em que não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ Q = 0 $. Além disso, como o processo é reversível, podemos usar algumas equações específicas para relacionar pressão, volume e temperatura.
Passo 3
Para um gás perfeito em um processo adiabático reversível, temos a seguinte relação:
Aqui, $ \gamma $ (gamma) é a razão entre a capacidade calorífica a pressão constante ($ C_p
C_v $). Para gases diatômicos, como o ar, geralmente assumimos $ \gamma = 1,4 $.
Passo 4
Sabemos o volume final é 10 vezes o volume inicial:
E o volume inicial é $ V_i = 1 , m^3 $. Agora, queremos encontrar a pressão final $ P_f $ usando a relação adiabática.
Passo 5
Usando a relação $ PV^\gamma = constante $, temos:
Vamos isolar $ P_f $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando $ \left( \frac{1}{10} \right)^{1,4} $:
Então:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a temperatura final $ T_f $. Para isso, usamos outra relação adiabática:
Portanto:
Isolando $ T_f $:
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculando $ \left( \frac{1}{10} \right)^{0,4} $:
Então:
Passo 9
Por fim, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás durante esse processo adiabático. A fórmula para o trabalho em um processo adiabático reversível é:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 10
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Resposta
A temperatura final é aproximadamente $ 199 , K $, a pressão final é $ 79,6 , kPa $ e o trabalho realizado pelo gás durante a expansão é $ 3010 , kJ $.