QUESTÃO 03 (2.0) Considere o sistema formado por n-hexano(1), i-heptano(2) e n-octano (3) e que este sistema segue a leí de Raoult. A pressão de vapor dos compostos puros é dada pela equação de Antoine (
bar e
K ):
Em que,
Conrosto
9,52214
2869,781
9,27555
2921,142
9,32241
3120,293
O sistema, após o flash, atinge uma condição em que
bar e
da alimentação sai na fase vapor. Determine a temperatura e as composições das fases líquida e vapor.
| Conrosto |
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9,52214 | 2869,781 |
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9,27555 | 2921,142 |
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9,32241 | 3120,293 |
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Passo 1
O enunciado pede para determinar a temperatura e as composições das fases líquida e vapor num flash do sistema formado por n-hexano (1), i-heptano (2) e n-octano (3) nas condições:
As pressões de vapor dos puros são dadas pela equação de Antoine
com os parâmetros fornecidos (a unidade de
é bar e
é em K):
O que falta no enunciado (informação necessária e não fornecida) é a composição da alimentação, ou seja, os
para
. Sem os
não é possível obter valores numéricos únicos para a temperatura e as composições finais. A partir daqui vou explicar passo a passo o método correto para resolver o problema caso os
fossem conhecidos.
Passo 2
Entendendo a equação de Antoine (aula rápida):
A equação de Antoine dá a pressão de vapor de um componente puro em função da temperatura. A fórmula é
A equação de Antoine dá a pressão de vapor de um componente puro em função da temperatura. A fórmula é
onde:
-
é a pressão de vapor do componente puro (em bar); -
é a temperatura em kelvin (K); -
são constantes empíricas fornecidas na tabela.
Para cada tentativa de temperaturavocê calcula isolando:
Obs.: escrevi
porque a equação dá
.
Passo 3
Lei de Raoult e coeficiente
:
Para uma mistura ideal em equilíbrio líquido-vapor a lei de Raoult diz
Para uma mistura ideal em equilíbrio líquido-vapor a lei de Raoult diz
onde:
-
é a fração molar do componente na fase líquida; -
é a fração molar do componente na fase vapor; -
é a pressão total (aqui bar); -
é a pressão de vapor do puro calculada pela Antoine.
Define-se o coeficiente de equilíbrio
Com isso a relação de equilíbrio fica simplesmente
Passo 4
Balanços de material e relação entre
,
e
:
A composição global da alimentação é (frações molares, com
). O balanço de massa para cada componente no flash dá
A composição global da alimentação é
onde
(aqui
). Substituindo
temos
Isolando
:
Em seguida
obtém-se por
Passo 5
Equação para encontrar a temperatura
:
As frações líquidas devem somar 1, isto é
. Substituindo a expressão de
em termos de
e
obtemos a equação escalar que determina
:
As frações líquidas
Como cada
e
vem da equação de Antoine, essa é uma equação não linear em
. Portanto, para obter
devemos resolver numericamente a equação acima.
Passo 6
Procedimento numérico passo a passo (o que você faria na prova ou no computador):
- Receber as composições da alimentação
(a soma deve ser ). - Definir
e . - Escolher um intervalo inicial de temperaturas plausível, por exemplo
e (esses limites cobrem a faixa típica de ebulição dos alcanos sob pressões próximas de 1 bar). - Para um palpite
qualquer no intervalo:
a) calcular cada;\n
b) calcular;\n
c) calcular a soma.\n - Avaliar a função objetivo
. O valor de que zera é a temperatura de equilíbrio do flash. - Usar um método de busca de raiz (bisseção, secante ou Newton se tiver derivada) para encontrar
tal que esteja dentro da tolerância desejada (por ex. ). - Com o
encontrado, calcular , então e . Verificar que e (as somas podem ter pequeno erro numérico).
Observação: este procedimento dá uma solução única desde quesejam conhecidas.
Passo 7
Algumas dicas práticas e interpretação física:
- Se um componente tem
em uma dada , ele prefere a fase vapor; se , prefere a fase líquida. - A equação de Antoine deve ser usada com atenção: os
são somados a antes de dividir . - Na prova, se você tiver uma calculadora com função exp e ln, consegue implementar manualmente a bisseção em poucas iterações; se não, faça escolhas de palpites e iterar até convergir.
- Se o examinador der valores numéricos para
, basta aplicar imediatamente os passos acima para achar , e .
Passo 8
Conclusão específica para o enunciado fornecido:
Embora eu tenha mostrado o método completo, para fornecer números (temperatura e composições
e
) é indispensável conhecer as frações molares da alimentação
. Como o enunciado não traz esses valores, não há como calcular numericamente uma solução única. Se você me passar os
, eu aplico o procedimento acima e mostro cada conta passo a passo até os resultados numéricos.
Embora eu tenha mostrado o método completo, para fornecer números (temperatura
Resposta
Não é possível determinar a temperatura e as composições porque a composição da alimentação
(
) não foi fornecida.