QUESTÃO 03 (2.0) Considere o sistema formado por n-hexano(1), i-heptano(2) e n-octano (3) e que este sistema segue a leí de Raoult. A pressão de vapor dos compostos puros é dada pela equação de Antoine ( P f^{\text {sat }} \mathrm{em} bar e T \mathrm{em} K ):
\ln P_{i}^{s a t}=A_{i}-\frac{B_{i}}{T+C_{i}}
Em que,
Conrosto A_{i} B_{i} C_{i}
1^{a} 9,52214 2869,781 -40,162
2^{b} 9,27555 2921,142 -56,199
3^{b} 9,32241 3120,293 -63,633
O sistema, após o flash, atinge uma condição em que P=0,8 bar e 40 \% da alimentação sai na fase vapor. Determine a temperatura e as composições das fases líquida e vapor.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a temperatura e as composições das fases líquida e vapor num flash do sistema formado por n-hexano (1), i-heptano (2) e n-octano (3) nas condições:
P = 0{,}8\\ \text{bar}
\text{fração de vapor da alimentação: }\beta=\frac{V}{F}=0{,}40çãçã
As pressões de vapor dos puros são dadas pela equação de Antoine
\ln P_{i}^{\text{sat}} = A_{i} - \frac{B_{i}}{T + C_{i}}
com os parâmetros fornecidos (a unidade de P_{i}^{\text{sat}} é bar e T é em K):
\begin{array}{llll} \text{Composto} & A_{i} & B_{i} & C_{i} \\\\ 1 & 9{,}52214 & 2869{,}781 & -40{,}162 \\\\ 2 & 9{,}27555 & 2921{,}142 & -56{,}199 \\\\ 3 & 9{,}32241 & 3120{,}293 & -63{,}633 \end{array}
O que falta no enunciado (informação necessária e não fornecida) é a composição da alimentação, ou seja, os \;z_{i} para i=1,2,3. Sem os \;z_{i} não é possível obter valores numéricos únicos para a temperatura e as composições finais. A partir daqui vou explicar passo a passo o método correto para resolver o problema caso os \;z_{i} fossem conhecidos.

Passo 2

Entendendo a equação de Antoine (aula rápida):
A equação de Antoine dá a pressão de vapor de um componente puro em função da temperatura. A fórmula é
\ln P_{i}^{\text{sat}} = A_{i} - \frac{B_{i}}{T + C_{i}}
onde:
  • \;P_{i}^{\text{sat}} é a pressão de vapor do componente puro i (em bar);
  • \;T é a temperatura em kelvin (K);
  • \;A_{i},B_{i},C_{i} são constantes empíricas fornecidas na tabela.
    Para cada tentativa de temperatura T você calcula \;P_{i}^{\text{sat}}(T) isolando:
P_{i}^{\text{sat}}(T)=\exp\!\left(A_{i}-\frac{B_{i}}{T+C_{i}}\right).
Obs.: escrevi \exp(\cdot) porque a equação dá \ln P_{i}^{\text{sat}}.

Passo 3

Lei de Raoult e coeficiente K_{i}:
Para uma mistura ideal em equilíbrio líquido-vapor a lei de Raoult diz
y_{i}\,P = x_{i}\,P_{i}^{\text{sat}}(T)
onde:
  • \;x_{i} é a fração molar do componente i na fase líquida;
  • \;y_{i} é a fração molar do componente i na fase vapor;
  • \;P é a pressão total (aqui \;0{,}8 bar);
  • \;P_{i}^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor do puro calculada pela Antoine.
    Define-se o coeficiente de equilíbrio
K_{i}(T)=\frac{P_{i}^{\text{sat}}(T)}{P}.
Com isso a relação de equilíbrio fica simplesmente
y_{i} = K_{i}(T)\,x_{i}.

Passo 4

Balanços de material e relação entre x_{i}, y_{i} e z_{i}:
A composição global da alimentação é \;z_{i} (frações molares, com \sum_{i} z_{i}=1). O balanço de massa para cada componente no flash dá
z_{i} = (1-\beta)\,x_{i} + \beta\,y_{i}
onde \beta=V/F (aqui \beta=0{,}40). Substituindo y_{i}=K_{i}x_{i} temos
z_{i} = (1-\beta)\,x_{i} + \beta\,K_{i}\,x_{i} = x_{i}\bigl[\,1+\beta(K_{i}-1)\,\bigr].
Isolando x_{i}:
x_{i} = \frac{z_{i}}{\,1+\beta\bigl(K_{i}-1\bigr)\,}.
Em seguida y_{i} obtém-se por
y_{i}=K_{i}\,x_{i} = \frac{K_{i}\,z_{i}}{\,1+\beta\bigl(K_{i}-1\bigr)\,}.

Passo 5

Equação para encontrar a temperatura T:
As frações líquidas x_{i} devem somar 1, isto é \sum_{i} x_{i}=1. Substituindo a expressão de x_{i} em termos de z_{i} e K_{i}(T) obtemos a equação escalar que determina T:
\sum_{i=1}^{3} \frac{z_{i}}{\,1+\beta\bigl(K_{i}(T)-1\bigr)\,} = 1.
Como cada K_{i}(T)=P_{i}^{\text{sat}}(T)/P e P_{i}^{\text{sat}}(T) vem da equação de Antoine, essa é uma equação não linear em T. Portanto, para obter T devemos resolver numericamente a equação acima.

Passo 6

Procedimento numérico passo a passo (o que você faria na prova ou no computador):
  1. Receber as composições da alimentação \;z_{1},z_{2},z_{3} (a soma deve ser 1).
  2. Definir \beta=0{,}40 e P=0{,}8\\ \text{bar}.
  3. Escolher um intervalo inicial de temperaturas plausível, por exemplo T_{\min}=280\\ \text{K} e T_{\max}=450\\ \text{K} (esses limites cobrem a faixa típica de ebulição dos alcanos sob pressões próximas de 1 bar).
  4. Para um palpite T qualquer no intervalo:
    a) calcular cada P_{i}^{\text{sat}}(T)=\exp\!\left(A_{i}-\dfrac{B_{i}}{T+C_{i}}\right);\n
    b) calcular K_{i}(T)=P_{i}^{\text{sat}}(T)/P;\n
    c) calcular a soma S(T)=\sum_{i}\dfrac{z_{i}}{\,1+\beta\bigl(K_{i}(T)-1\bigr)\,}.\n
  5. Avaliar a função objetivo f(T)=S(T)-1. O valor de T que zera f(T) é a temperatura de equilíbrio do flash.
  6. Usar um método de busca de raiz (bisseção, secante ou Newton se tiver derivada) para encontrar T tal que |f(T)| esteja dentro da tolerância desejada (por ex. 10^{-6}).
  7. Com o T encontrado, calcular K_{i}(T), então x_{i}=\dfrac{z_{i}}{1+\beta(K_{i}-1)} e y_{i}=K_{i}x_{i}. Verificar que \sum_{i}x_{i}=1 e \sum_{i}y_{i}=1 (as somas podem ter pequeno erro numérico).
    Observação: este procedimento dá uma solução única desde que z_{i} sejam conhecidas.

Passo 7

Algumas dicas práticas e interpretação física:
  • Se um componente tem K_{i}>1 em uma dada T, ele prefere a fase vapor; se K_{i}<1, prefere a fase líquida.
  • A equação de Antoine deve ser usada com atenção: os \;C_{i} são somados a T antes de dividir B_{i}.
  • Na prova, se você tiver uma calculadora com função exp e ln, consegue implementar manualmente a bisseção em poucas iterações; se não, faça escolhas de palpites e iterar até convergir.
  • Se o examinador der valores numéricos para \;z_{i}, basta aplicar imediatamente os passos acima para achar T, \;x_{i} e \;y_{i}.

Passo 8

Conclusão específica para o enunciado fornecido:
Embora eu tenha mostrado o método completo, para fornecer números (temperatura \;T e composições \;x_{i} e \;y_{i}) é indispensável conhecer as frações molares da alimentação \;z_{1},z_{2},z_{3}. Como o enunciado não traz esses valores, não há como calcular numericamente uma solução única. Se você me passar os \;z_{i}, eu aplico o procedimento acima e mostro cada conta passo a passo até os resultados numéricos.

Resposta

Não é possível determinar a temperatura e as composições porque a composição da alimentação \;z_{i} ( i=1,2,3) não foi fornecida.

Exercícios relacionados