Questão 03. (1,0 Pontos) Prove que: c_{p, 0}-c_{v, 0}=R.
Dados do ar: R=0.287 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}) \quad c_{\mathrm{p}, 0}=1.0035 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}) \quad c_{\mathrm{v}, 0}=0.7165 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \mathrm{K})
Relações úteis: T \mathrm{~d} s=\mathrm{d} u+p \mathrm{~d} v \quad T \mathrm{~d} s=\mathrm{d} h-v \mathrm{~d} p \quad \mathrm{~d} u=c_{v, 0} \mathrm{~d} T \quad \mathrm{~d} h=c_{p, 0} \mathrm{~d} T \quad p v=R T

Passo 1

O enunciado pede para provar que \;c_{p,0}-c_{v,0}=R\;.
Dados fornecidos:
R=0,287\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}),\qquad c_{p,0}=1,0035\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}),\qquad c_{v,0}=0,7165\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}).
Relações úteis (fornecidas no enunciado):
T\,\mathrm{d}s=\mathrm{d}u+p\,\mathrm{d}v,\qquad T\,\mathrm{d}s=\mathrm{d}h-v\,\mathrm{d}p,
\mathrm{d}u=c_{v,0}\,\mathrm{d}T,\qquad \mathrm{d}h=c_{p,0}\,\mathrm{d}T,\qquad p\,v=R\,T.

Passo 2

Lembrete útil (não resolvo nada ainda, só escrevo uma identidade que vamos usar): a entalpia é definida por
h=u+p\,v.
Agora diferenciando ambos os lados obtemos a relação entre diferenciais (regra do produto):
\mathrm{d}h=\mathrm{d}u+p\,\mathrm{d}v+v\,\mathrm{d}p.
Aqui usei que \mathrm{d}(p\,v)=p\,\mathrm{d}v+v\,\mathrm{d}p.

Passo 3

Substituo as expressões dadas para \mathrm{d}u e \mathrm{d}h. Pelas relações fornecidas,
\mathrm{d}u=c_{v,0}\,\mathrm{d}T,\qquad \mathrm{d}h=c_{p,0}\,\mathrm{d}T.
Aplicando isso na identidade do passo anterior:
c_{p,0}\,\mathrm{d}T=c_{v,0}\,\mathrm{d}T+p\,\mathrm{d}v+v\,\mathrm{d}p.
Rearranjando, obtemos
\bigl(c_{p,0}-c_{v,0}\bigr)\mathrm{d}T=p\,\mathrm{d}v+v\,\mathrm{d}p.

Passo 4

Agora vamos usar a equação do gás perfeito \;p\,v=R\,T\;. Diferenciando ambos os lados (novamente regra do produto) dá:
p\,\mathrm{d}v+v\,\mathrm{d}p=R\,\mathrm{d}T.
Isto é simplesmente a derivada do produto p v em função de T.

Passo 5

Compare as igualdades do passo 3 e do passo 4. Ambas expressam p\,\mathrm{d}v+v\,\mathrm{d}p, então podemos igualar:
\bigl(c_{p,0}-c_{v,0}\bigr)\mathrm{d}T=R\,\mathrm{d}T.
Como isto vale para variações arbitrárias de \mathrm{d}T (podemos escolher \mathrm{d}T\neq0), podemos dividir por \mathrm{d}T e obter a identidade desejada:
c_{p,0}-c_{v,0}=R.
Interpretação física rápida: para um gás ideal a diferença entre calor específico à pressão constante e à volume constante é exatamente a constante específica do gás.

Passo 6

Verificação numérica com os dados fornecidos:
c_{p,0}-c_{v,0}=1,0035-0,7165=0,2870\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}),
que coincide com R=0,287\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}). Beleza — a conta bate certinho!

Resposta

\;c_{p,0}-c_{v,0}=R=0,287\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})

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