Questão 03. (1,0 Pontos) Prove que:
.
Dados do ar:
Relações úteis:
Dados do ar:
Relações úteis:
Passo 1
O enunciado pede para provar que
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Relações úteis (fornecidas no enunciado):
Passo 2
Lembrete útil (não resolvo nada ainda, só escrevo uma identidade que vamos usar): a entalpia é definida por
Agora diferenciando ambos os lados obtemos a relação entre diferenciais (regra do produto):
Aqui usei que
.
Passo 3
Substituo as expressões dadas para
e
. Pelas relações fornecidas,
Aplicando isso na identidade do passo anterior:
Rearranjando, obtemos
Passo 4
Agora vamos usar a equação do gás perfeito
. Diferenciando ambos os lados (novamente regra do produto) dá:
Isto é simplesmente a derivada do produto
em função de
.
Passo 5
Compare as igualdades do passo 3 e do passo 4. Ambas expressam
, então podemos igualar:
Como isto vale para variações arbitrárias de
(podemos escolher
), podemos dividir por
e obter a identidade desejada:
Interpretação física rápida: para um gás ideal a diferença entre calor específico à pressão constante e à volume constante é exatamente a constante específica do gás.
Passo 6
Verificação numérica com os dados fornecidos:
que coincide com
. Beleza — a conta bate certinho!