Um refrigerador de Carnot opera entre dois reservatórios a temperaturas de 320 K e 270 K . (a) Se em cada ciclo o refrigerador recebe 415 J de calor do reservatório a 270 K , qual é a quantidade de calor em joules transferida para o reservatório a 320 K ? (b) Se o refrigerador executa 165 ciclos em cada minuto, qual é a potência necessária para operá-lo? (c) Qual é o coeficiente de desempenho do refrigerador?

Passo 1

O que o enunciado pede:
(a) A quantidade de calor por ciclo transferida para o reservatório a quente.
(b) A potência necessária para operar o refrigerador quando ele realiza 165 ciclos por minuto.
(c) O coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador.
Dados fornecidos:
T_H = 320\\ \text{K},\qquad T_L = 270\\ \text{K}
Q_L = 415\\ \text{J\\ (por ciclo)}
\text{ciclos} = 165\\ \text{ciclos/minuto}

Passo 2

Entendendo o princípio que vamos usar (passo-a-passo e bem didático): um refrigerador de Carnot é reversível e, por isso, a variação total de entropia num ciclo reversível é zero. Isso nos dá a relação entre os calores trocados e as temperaturas dos reservatórios: os módulos dos calores obedecem
\frac{Q_H}{T_H} - \frac{Q_L}{T_L} = 0.
Aqui Q_H é o calor cedido ao reservatório quente por ciclo (o que queremos em (a)), Q_L é o calor absorvido do reservatório frio por ciclo (dado), T_H e T_L são as temperaturas absoluta dos reservatórios (em kelvin). Essa relação é simplesmente a condição " \Delta S = 0 " para um ciclo reversível: calor dividido por temperatura é variação de entropia.
A partir daí obtemos
\frac{Q_H}{Q_L} = \frac{T_H}{T_L}.
Outra forma útil é relacionar o trabalho por ciclo W com os calores:
W = Q_H - Q_L.
O coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador é definido como a razão entre o calor retirado do frio e o trabalho fornecido:
\mathrm{COP} = \frac{Q_L}{W}.
Usando a relação entre Q_H e Q_L dá-se a forma prática para a COP de um refrigerador de Carnot:
\mathrm{COP} = \frac{T_L}{T_H - T_L}.

Passo 3

Calculemos o coeficiente de desempenho usando a fórmula derivada. Primeiro a diferença de temperaturas:
T_H - T_L = 320 - 270 = 50\\ \text{K}.
Então
\mathrm{COP} = \frac{T_L}{T_H - T_L} = \frac{270}{50} = 5{,}4.
Interpretação: para cada joule de trabalho fornecido, este refrigerador ideal retira 5{,}4 joules do reservatório frio.

Passo 4

Agora encontramos o trabalho por ciclo W. Usando a definição de COP:
W = \frac{Q_L}{\mathrm{COP}}.
Substituindo os valores:
W = \frac{415}{5{,}4}.
Façamos a divisão passo a passo: 5{,}4 \times 70 = 378, sobra 415-378=37. 5{,}4 \times 6 = 32{,}4, sobra 4{,}6. Aproximando mais, o resultado é
W \approx 76{,}85\\ \text{J (por ciclo)}.

Passo 5

Com W conhecido, o calor cedido ao reservatório quente por ciclo é
Q_H = Q_L + W.
Substituindo:
Q_H = 415 + 76{,}851\ldots \approx 491{,}85\\ \text{J (por ciclo)}.
(Usei W\approx76{,}851\ldots J na soma; arredondei para duas casas decimais.)

Passo 6

Passamos à potência necessária. Primeiro convertemos o número de ciclos por minuto para ciclos por segundo (Hz):
\text{frequência} = \frac{165}{60} = 2{,}75\\ \text{ciclos/s}.ê
A potência média requerida é o trabalho por ciclo vezes a frequência:
P = W \times \text{frequência} \approx 76{,}851\ldots \times 2{,}75.ê
Multiplicando:
P \approx 211{,}34\\ \text{W}.
Interpretação: são necessários aproximadamente 211{,}34 watts para manter o refrigerador funcionando a 165 ciclos/minuto.

Passo 7

Resumo rápido das contas e verificação mental: COP calculado diretamente pelas temperaturas deu 5{,}4. Isso implica trabalho menor que o calor extraído, o que é coerente (refrigeradores usam relativamente pouco trabalho para transferir calor). Os valores numéricos finais estão arredondados com duas casas decimais para leitura clara.

Resposta

(a) Q_H \approx 491{,}85\\ \text{J}
(b) P \approx 211{,}34\\ \text{W}
(c) \mathrm{COP} = 5{,}4

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