Questão 08 (1,00 ponto) Demonstre que para um concreto até classe de resistência C50 e seção simplesmente armada, o valor da taxa de aço fica abaixo do limite máximo de 4 \%. Considere d=0,9 h.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que vou usar.
  • Pedido do enunciado: provar que, para concreto até classe de resistência C50 e para uma seção simplesmente armada (apenas armadura de tração), a taxa de aço (razão entre área de aço e área da seção) fica abaixo do limite máximo de 4\%. Foi dado d=0,9\,h (profundidade útil igual a 0{,}9 vezes a altura total).
  • Observações e escolhas que farei (valores usualmente adotados em exercícios e normas):
    • Vou usar o conceito de taxa de aço limite correspondente ao caso “balanceado” (quando a armadura de tração atinge o escoamento simultaneamente ao esmagamento do concreto) — esse é o caso que produz uma taxa relativamente alta; se mesmo esse caso ficar abaixo de 4\%, então qualquer outro caso prático também ficará.
    • Tensões e deformações típicas e fatores de segurança: deformação última do concreto \varepsilon_{cu}=0{,}0035; módulo de Young do aço E_s=210{,}000\\ \text{MPa}; aço característico f_{yk}=500\\ \text{MPa}. Usarei ainda os coeficientes de segurança típicos: \gamma_c=1{,}4 para o concreto e \gamma_s=1{,}15 para o aço, de forma a trabalhar com tensões de projeto (valores que aparecem em dimensionamento).
    • Portanto as tensões de projeto serão: \,f_{cd}=\dfrac{f_{ck}}{\gamma_c} e \,f_{yd}=\dfrac{f_{yk}}{\gamma_s}.
  • Vou demonstrar matematicamente a expressão da taxa de aço balanceada e calcular numericamente para f_{ck}=50\\ \text{MPa} (classe C50) e d/h=0{,}9. A conclusão será comparar com 4\%.

Passo 2

Conceito de equilíbrio e de condição balanceada — derivação de x relativo a d.
  • Distribuição de deformações (hipótese usual): a deformação varia linearmente pela altura da seção. Chamando x a profundidade do eixo neutro medida a partir da face comprimida até o ponto onde a deformação longitudinal é nula, a deformação na armadura (na fibra de tração a uma distância d da fibra comprimida) é, por semelhança de triângulos,
\varepsilon_s = \varepsilon_{cu}\,\frac{d-x}{x}.
  • Condição balanceada: armadura atinge a deformação de escoamento \varepsilon_y exatamente quando o concreto atinge \varepsilon_{cu}. Assim, para o caso balanceado
\varepsilon_s=\varepsilon_y \quad\Rightarrow\quad \varepsilon_y=\varepsilon_{cu}\,\frac{d-x}{x}.
  • Resolvendo para \dfrac{x}{d}:
\frac{d-x}{x}=\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_{cu}} \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{d}=\frac{1}{1+\dfrac{\varepsilon_y}{\varepsilon_{cu}}}.

Passo 3

Equilíbrio de forças (C = T) e expressão da taxa de aço balanceada.
  • Força de compressão no concreto (hipótese do bloco retangular equivalente de Whitney simplificado): tomo a força de compressão por unidade de largura como 0{,}85\,f_{cd}\,x (onde f_{cd} é resistência de projeto do concreto e x é a profundidade do bloco). Logo a força total de compressão em uma largura b vale C=0{,}85\,f_{cd}\,b\,x.
  • Força de tração na armadura, no caso balanceado (assumindo que o aço já atingiu f_{yd}): T=A_s\,f_{yd}.
  • Equilíbrio C=T
A_s\,f_{yd}=0{,}85\,f_{cd}\,b\,x \quad\Rightarrow\quad A_s=\frac{0{,}85\,f_{cd}\,b\,x}{f_{yd}}.
  • Definindo a taxa de aço em relação à área total da seção b h como \rho=\dfrac{A_s}{b h}, obtemos
\rho=\frac{A_s}{b h}=\frac{0{,}85\,f_{cd}\,x}{f_{yd}\,h}.
  • Escrevendo em termos de x/d e d/h:
\rho=\frac{0{,}85\,f_{cd}}{f_{yd}}\cdot\frac{x}{d}\cdot\frac{d}{h}.
  • Substituindo a expressão de \dfrac{x}{d} do Passo 2 (caso balanceado):
\rho_{\,bal}=\frac{0{,}85\,f_{cd}}{f_{yd}}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{\varepsilon_y}{\varepsilon_{cu}}}\cdot\frac{d}{h}.
Esta é a fórmula que vamos avaliar numericamente para f_{ck}=50\\ \text{MPa} e d/h=0{,}9.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo (explicando cada valor usado).
  • Primeiro calcule a deformação de escoamento do aço:
\varepsilon_y=\frac{f_{yk}}{E_s}=\frac{500}{210{,}000}=0{,}002381\\ (\text{sem unidade}).
  • \varepsilon_{cu}=0{,}0035, então
\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_{cu}}=\frac{0{,}002381}{0{,}0035}\approx0{,}6803.
  • Coeficiente resultante 1/(1+\varepsilon_y/\varepsilon_{cu}):
\frac{1}{1+\dfrac{\varepsilon_y}{\varepsilon_{cu}}}=\frac{1}{1+0{,}6803}\approx0{,}5950.
  • Tensões de projeto:
f_{cd}=\frac{f_{ck}}{\gamma_c}=\frac{50}{1{,}4}\approx35{,}714\\ \text{MPa}, \qquad f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}=\frac{500}{1{,}15}\approx434{,}783\\ \text{MPa}.
  • Quociente f_{cd}/f_{yd}:
\frac{f_{cd}}{f_{yd}}=\frac{35{,}714}{434{,}783}\approx0{,}08222.
  • Agora substituindo tudo na fórmula do Passo 3 e lembrando d/h=0{,}9:
\rho_{\,bal}=0{,}85\cdot 0{,}08222\cdot 0{,}5950\cdot 0{,}9.
  • Faça as multiplicações passo a passo:
0{,}85\cdot 0{,}08222\approx0{,}06989,
0{,}06989\cdot 0{,}5950\approx0{,}04157,
0{,}04157\cdot 0{,}9\approx0{,}03741.
  • Assim
\rho_{\,bal}\approx0{,}0374\quad\text{(fração)}.çã
Em percentagem:
\rho_{\,bal}\approx3{,}74\%.

Passo 5

Interpretação final e conclusão.
  • O valor calculado \rho_{\,bal}\approx3{,}74\% representa a taxa de aço no caso balanceado (situação que tende a produzir a maior taxa de aço admissível mantendo-se a seção simplesmente armada — isto é, sem armadura de compressão).
  • Como 3{,}74\%<4{,}0\%, conclui-se que, para concreto até classe C50 (usando os parâmetros normais adotados acima) e com d=0{,}9\,h, a taxa de aço na condição crítica (balanceada) fica abaixo do limite máximo de 4\%.
  • Observação prática: para classes de concreto inferiores a C50 o valor de \rho_{\,bal} será ainda menor (porque f_{cd} diminui), logo a conclusão vale para “até C50”.

Resposta

\rho_{\,bal}\approx3{,}74\%<4{,}0\%

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