Questão 08 (1,00 ponto) Demonstre que para um concreto até classe de resistência C50 e seção simplesmente armada, o valor da taxa de aço fica abaixo do limite máximo de
. Considere
.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que vou usar.
- Pedido do enunciado: provar que, para concreto até classe de resistência C50 e para uma seção simplesmente armada (apenas armadura de tração), a taxa de aço (razão entre área de aço e área da seção) fica abaixo do limite máximo de
. Foi dado (profundidade útil igual a vezes a altura total). - Observações e escolhas que farei (valores usualmente adotados em exercícios e normas):
- Vou usar o conceito de taxa de aço limite correspondente ao caso “balanceado” (quando a armadura de tração atinge o escoamento simultaneamente ao esmagamento do concreto) — esse é o caso que produz uma taxa relativamente alta; se mesmo esse caso ficar abaixo de
, então qualquer outro caso prático também ficará. - Tensões e deformações típicas e fatores de segurança: deformação última do concreto
; módulo de Young do aço ; aço característico . Usarei ainda os coeficientes de segurança típicos: para o concreto e para o aço, de forma a trabalhar com tensões de projeto (valores que aparecem em dimensionamento). - Portanto as tensões de projeto serão:
e .
- Vou usar o conceito de taxa de aço limite correspondente ao caso “balanceado” (quando a armadura de tração atinge o escoamento simultaneamente ao esmagamento do concreto) — esse é o caso que produz uma taxa relativamente alta; se mesmo esse caso ficar abaixo de
- Vou demonstrar matematicamente a expressão da taxa de aço balanceada e calcular numericamente para
(classe C50) e . A conclusão será comparar com .
Passo 2
Conceito de equilíbrio e de condição balanceada — derivação de
relativo a
.
- Distribuição de deformações (hipótese usual): a deformação varia linearmente pela altura da seção. Chamando
a profundidade do eixo neutro medida a partir da face comprimida até o ponto onde a deformação longitudinal é nula, a deformação na armadura (na fibra de tração a uma distância da fibra comprimida) é, por semelhança de triângulos,
- Condição balanceada: armadura atinge a deformação de escoamento
exatamente quando o concreto atinge . Assim, para o caso balanceado
- Resolvendo para
:
Passo 3
Equilíbrio de forças (C = T) e expressão da taxa de aço balanceada.
- Força de compressão no concreto (hipótese do bloco retangular equivalente de Whitney simplificado): tomo a força de compressão por unidade de largura como
(onde é resistência de projeto do concreto e é a profundidade do bloco). Logo a força total de compressão em uma largura vale . - Força de tração na armadura, no caso balanceado (assumindo que o aço já atingiu
): . - Equilíbrio
dá
- Definindo a taxa de aço em relação à área total da seção
como , obtemos
- Escrevendo em termos de
e :
- Substituindo a expressão de
do Passo 2 (caso balanceado):
Esta é a fórmula que vamos avaliar numericamente para
e
.
Passo 4
Cálculo numérico passo a passo (explicando cada valor usado).
- Primeiro calcule a deformação de escoamento do aço:
- Já
, então
- Coeficiente resultante
:
- Tensões de projeto:
- Quociente
:
- Agora substituindo tudo na fórmula do Passo 3 e lembrando
:
- Faça as multiplicações passo a passo:
- Assim
Em percentagem:
Passo 5
Interpretação final e conclusão.
- O valor calculado
representa a taxa de aço no caso balanceado (situação que tende a produzir a maior taxa de aço admissível mantendo-se a seção simplesmente armada — isto é, sem armadura de compressão). - Como
, conclui-se que, para concreto até classe C50 (usando os parâmetros normais adotados acima) e com , a taxa de aço na condição crítica (balanceada) fica abaixo do limite máximo de . - Observação prática: para classes de concreto inferiores a C50 o valor de
será ainda menor (porque diminui), logo a conclusão vale para “até C50”.