Questão 10 - Considere a sequência de tempo discreto
x(n)=\cos \left(\frac{n \pi}{8}\right)
Encontre dois sinais de tempo contínuo diferentes que produziriam essa sequência quando amostrados em uma frequência de f_{\mathrm{s}}=10 \mathrm{~Hz}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta
x[n]=\cos\!\left(\frac{n\pi}{8}\right)
e pede dois sinais em tempo contínuo que, ao serem amostrados a f_{\mathrm{s}}=10,Hz ( T=\frac{1}{10}=0,1,s), gerem exatamente x[n]. O conteúdo aqui é a relação entre frequência discreta \omega_0 e frequência contínua \Omega sujeita ao aliasing:
\omega_0 = (\Omega T) \bmod 2\pi.

Passo 2

Denotando a frequência discreta \omega_0=\frac{\pi}{8}, temos
\frac{\pi}{8} = (\Omega T) \bmod 2\pi,
once T=0,1,s. As soluções gerais são
\Omega = \frac{\omega_0 + 2\pi m}{T},\quad m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para m=0 obtemos
\Omega_0 = \frac{\pi/8}{0,1} = \frac{\pi}{8}\times 10 = \frac{5\pi}{4}\\ \text{rad/s}.
Assim um sinal contínuo é
x_{c1}(t) = \cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\,t\bigr).

Passo 4

Para m=1 temos
\Omega_1 = \frac{\pi/8 + 2\pi}{0,1} = \bigl(\tfrac{17\pi}{8}\bigr)\times 10 = \frac{85\pi}{4}\\ \text{rad/s}.
Logo um segundo sinal contínuo é
x_{c2}(t) = \cos\!\bigl(\tfrac{85\pi}{4}\,t\bigr).

Resposta

x_{c1}(t) = \cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\,t\bigr),
x_{c2}(t) = \cos\!\bigl(\tfrac{85\pi}{4}\,t\bigr).

Exercícios relacionados