Questão 10: Dado
, (a) calcule o trabalho envolvido no deslocamento de uma carga unitária positiva por um arco circular do círculo centrado na origem, de
até
; (b) mostre que o trabalho realizado no movimento da carga ao redor do círculo inteiro de
é zero.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo elétrico
e pede o trabalho realizado por uma carga unitária ao se deslocar ao longo de um arco de círculo de raio , de
até
, e depois ao longo de todo o círculo.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que para carga unitária é
e pede o trabalho realizado por uma carga unitária ao se deslocar ao longo de um arco de círculo de raio
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que para carga unitária é
Passo 2
Parametrizamos o círculo de raio
centrado na origem por
onde
varia de
até
para o arco pedido. Assim
e, no mesmo ponto,
Passo 3
Calculamos o produto escalar e a integral no arco de
até
:
Logo
Passo 4
Para o círculo inteiro, basta estender a integral de
até
:
pois
tem período
e soma nula em
. Isso também reflete que o campo é conservativo (
).
Resposta
(a)
(b)
(b)