Questão 11.97: “A relação de compressão de um motor a gasolina é 10 para 1. Sabendo que a pressão máxima no ciclo é igual a 6000 kPa , que a temperatura e a pressão do ar antes da compressão são iguais a 280 K e 85 kPa , determine a temperatura máxima no ciclo… a temperatura no início do processo de exaustão e a eficiência do ciclo”

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede (só dados e perguntas, nada de resolução ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Relação de compressão: \,r = 10.
    • Pressão máxima do ciclo (pressão no ponto de máxima pressão): \,P_3 = 6000\\ \text{kPa}.
    • Condições do ar antes da compressão (estado 1): \,T_1 = 280\\ \text{K} e \,P_1 = 85\\ \text{kPa}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a temperatura máxima no ciclo (isto é \,T_3, temperatura após a adição de calor a volume constante).
    2. Determinar a temperatura no início do processo de exaustão (isto é \,T_4, temperatura ao fim da expansão isentrópica).
    3. Determinar a eficiência do ciclo (eficiência térmica do ciclo ideal considerado).

Passo 2

Escolhas e hipóteses que vamos usar (sem inventar dados):
  • Vamos tratar o motor como um ciclo Otto ideal com ar como gás ideal e capacidades caloríficas constantes.
  • Para o ar, vamos adotar o valor usual da razão de capacidades térmicas \,\gamma = 1{,}4. Esse valor é padrão para ar em condições não extremas e é o que se usa normalmente em exercícios de motores a gasolina.
  • Explicação rápida das etapas do ciclo Otto que vamos usar:
    • 1 → 2: compressão isentrópica (adiabática reversível) de volume V_1 para V_2 com V_1/V_2 = r.
    • 2 → 3: adição de calor a volume constante (logo V_3 = V_2) — aqui ocorre a pressão máxima P_3.
    • 3 → 4: expansão isentrópica até V_4 = V_1.
    • 4 → 1: rejeição de calor a volume constante.
Agora eu uso as fórmulas fundamentais do gás ideal e das transformações isentrópicas para relacionar temperaturas e pressões entre os estados.

Passo 3

Relação isentrópica entre as temperaturas nos pontos 1 e 2. Fundamento e fórmula:
  • Para uma compressão isentrópica de um gás ideal vale a relação
T_2 = T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.
  • Como \dfrac{V_1}{V_2}=r, tem-se a fórmula prática usada em motores:
T_2 = T_1\,r^{\gamma-1}.
Explicando as variáveis:
  • \,T_1 é a temperatura inicial (dada),
  • \,T_2 é a temperatura após a compressão,
  • \,r é a relação de compressão,
  • \,\gamma é a razão C_P/C_V.
Agora calculemos numericamente:
T_2 = 280\cdot 10^{\,\gamma-1} = 280\cdot 10^{\,0{,}4}.
Sabendo que 10^{0{,}4}=2{,}511886\ldots,
T_2 \approx 280\cdot 2{,}511886 \approx 703{,}33\\ \text{K}.

Passo 4

Relação isentrópica entre as pressões nos pontos 1 e 2 e cálculo de P_2. Fundamento e fórmula:
  • Para o processo isentrópico também vale
P_2 = P_1\,r^{\gamma}.
Explicando as variáveis:
  • \,P_1 é a pressão antes da compressão,
  • \,P_2 é a pressão depois da compressão.
Calculemos numericamente:
P_2 = 85\cdot 10^{\,1{,}4} = 85\cdot 25{,}11886\ldots \approx 2135{,}10\\ \text{kPa}.
(Observação: aqui usei 10^{1{,}4}=10\cdot10^{0{,}4}=25{,}11886.)

Passo 5

Relação de estado durante a adição de calor a volume constante (2 → 3) e cálculo de T_3. Fundamento:
  • Em processo a volume constante vale a lei dos gases ideais na forma P\propto T (para mesmo volume): \dfrac{P_3}{P_2}=\dfrac{T_3}{T_2}.
  • Assim:
T_3 = T_2\cdot\dfrac{P_3}{P_2}.
Explicando as variáveis:
  • \,P_3 é a pressão máxima dada ( 6000\\ \text{kPa}),
  • \,P_2 e \,T_2 já calculados.
Agora o cálculo numérico:
T_3 = 703{,}33\cdot\dfrac{6000}{2135{,}10}.
Calcule a razão das pressões:
\dfrac{6000}{2135{,}10}\approx 2{,}809964.
Logo
T_3 \approx 703{,}33\cdot 2{,}809964 \approx 1976{,}33\\ \text{K}.
Esse é o valor da temperatura máxima no ciclo.

Passo 6

Temperatura no início do processo de exaustão: T_4. Fundamento e fórmula:
  • A expansão 3 → 4 é isentrópica até o volume original, portanto vale a relação análoga à compressão:
T_4 = T_3\left(\dfrac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma-1}.
  • Como V_3=V_2 e V_4=V_1, tem \dfrac{V_3}{V_4}=\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{1}{r}. Assim:
T_4 = T_3\,\left(\dfrac{1}{r}\right)^{\gamma-1} = T_3\,r^{\,1-\gamma}.
Explicando as variáveis:
  • \,T_3 é a temperatura no ponto de máxima pressão,
  • \,r e \,\gamma já conhecidos.
Cálculo numérico:
T_4 = 1976{,}33\cdot 10^{-0{,}4} = \dfrac{1976{,}33}{10^{0{,}4}}.
Como 10^{0{,}4}=2{,}511886,
T_4 \approx \dfrac{1976{,}33}{2{,}511886} \approx 787{,}04\\ \text{K}.
Esse é o valor da temperatura no início do processo de exaustão (estado 4).

Passo 7

Eficiência térmica do ciclo Otto ideal. Fundamento e fórmula:
  • Para o ciclo Otto ideal (capacidades constantes) a eficiência depende só da razão de compressão e de \gamma:
\eta = 1 - r^{\,1-\gamma}.
Explicando:
  • \eta é a eficiência térmica (fração da energia fornecida que se converte em trabalho),
  • A fórmula vem da razão entre calor rejeitado e calor adicionado para o ciclo Otto com processos a volume constante e isentrópicos.
Cálculo numérico:
\eta = 1 - 10^{\,1-\gamma} = 1 - 10^{-0{,}4}.
Sabendo 10^{-0{,}4} = \dfrac{1}{2{,}511886}\approx 0{,}398107,
\eta \approx 1 - 0{,}398107 = 0{,}601893 \approx 60{,}19\%.

Passo 8

Breve interpretação final (você pode pular essa parte na prova, mas aqui ajuda a fixar):
  • A temperatura máxima \,T_3 resulta da combinação da compressão (que já elevou a temperatura até \,T_2) e da adição de calor a volume constante que elevou ainda mais a pressão e a temperatura até \,T_3.
  • Após a expansão isentrópica temperatura cai para \,T_4, mas em geral \,T_4 fica maior que \,T_2 porque houve acréscimo de energia interna durante a queima.
  • A eficiência do ciclo aumenta quando r aumenta e também quando \gamma é maior; para ar diatômico padrão \gamma=1{,}4 isso dá a eficiência que calculamos.

Resposta

T_3 \approx 1976{,}33\\ \text{K}
T_4 \approx 787{,}04\\ \text{K}
\eta \approx 0{,}601893 \approx 60{,}19\%

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