Questão 3 (Ciclo Diesel): “A razão do volume do cilindro depois e antes do processo de combustão em um ciclo Diesel é 2 . A pressão e a temperatura no início do processo de compressão são, respectivamente, 100 kPa e 27^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que a taxa de compressão é 18, determine a temperatura e a pressão ao final de cada processo do ciclo, a eficiência térmica e a pressão média efetiva em kPa.”

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede (vou listar tudo claro para você não se perder).
  • Dados fornecidos:
    • Pressão no início da compressão (estado 1): P_1 = 100\\ \text{kPa}.
    • Temperatura no início da compressão (estado 1): T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \text{K}.
    • Taxa de compressão (razão de volumes): r=\dfrac{V_1}{V_2}=18.
    • Razão de volumes antes e depois da combustão (cutoff ratio): r_c=\dfrac{V_3}{V_2}=2.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a temperatura e a pressão ao final de cada processo do ciclo (ou seja, nos estados 2, 3 e 4 — e vamos listar também o estado 1 que já foi dado).
    2. Determinar a eficiência térmica do ciclo Diesel.
    3. Determinar a pressão média efetiva (PME, em kPa).
  • Convenções e hipóteses que vou usar (padrão em ciclo ar‑padrão):
    • Gás de trabalho: ar ideal com razão de calores \gamma = 1{,}4.
    • Constantes específicas do ar (valores usuais): R = 0{,}287\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1},\qquad c_p = 1{,}005\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1},\qquad c_v = 0{,}718\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
    • O ciclo Diesel ideal tem quatro estados: 1 (início da compressão), 2 (fim da compressão, início da adição de calor), 3 (fim da adição de calor a pressão constante), 4 (fim da expansão adiabática, início da rejeição de calor). As relações que usarei estarão explicadas nos próximos passos.

Passo 2

Vou listar as fórmulas física/matemáticas que vamos usar e explicar o motivo de cada uma (tipo mini‑aula rápida, passo a passo).
  • Para processos adiabáticos e reversíveis (compressão 1→2 e expansão 3→4), vale a relação isentrópica para gás ideal: T_2 = T_1\,r^{\,\gamma-1}, \qquad P_2 = P_1\,r^{\,\gamma}.Explicação: em um processo isentrópico (adiabático reversível) a relação entre T e V é T V^{\gamma-1}= constante; como V_1/V_2=r deduzimos a fórmula acima. Analogamente para pressão usa‑se P V^\gamma= constante.
  • No aquecimento a pressão constante (2→3) vale P_3=P_2 e a temperatura cresce proporcionalmente ao volume: T_3 = T_2\,\frac{V_3}{V_2} = T_2\,r_c.Explicação: a pressão é constante e, pela equação de estado P v = RT, T varia na mesma razão que v (volume específico).
  • Na expansão isentrópica (3→4) podemos usar: T_4 = T_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma-1}.Observação útil: em ciclo Diesel ideal V_4=V_1, portanto \dfrac{V_3}{V_4}=\dfrac{r_c}{r}.
  • Pressões relacionadas em expansão isentrópica: P_4 = P_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma} = P_3\left(\frac{r_c}{r}\right)^{\gamma}.Também pode-se usar a lei dos gases ideais para obter P_4 = P_1\cdot\dfrac{T_4}{T_1} porque V_4=V_1.
  • Eficiência térmica do ciclo Diesel (fórmula direta usada em provas): \eta = 1 - \dfrac{1}{r^{\,\gamma-1}}\cdot\dfrac{r_c^{\,\gamma}-1}{\gamma\left(r_c-1\right)}.Explicação curta: essa expressão vem de \eta = 1 - \dfrac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}} com Q_{\text{in}} = c_p(T_3-T_2) e Q_{\text{out}}=c_v(T_4-T_1) e manipulações usando relações isentrópicas.
  • Pressão média efetiva (PME): PME é o trabalho líquido por ciclo dividido pelo volume deslocado (deslocamento do pistão). Tomando massas por unidade (1 kg) e usando volumes específicos, temos \text{PME} = \dfrac{w_{\text{net}}}{v_1-v_2},com w_{\text{net}} = c_p(T_3-T_2) - c_v(T_4-T_1), \qquad v_1 = \dfrac{R T_1}{P_1},\qquad v_2=\dfrac{v_1}{r}.Observação de unidades: com w_{\text{net}} em \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1} e v em \text{m}^3\cdot\text{kg}^{-1} a PME vem em \text{kJ}\cdot\text{m}^{-3} que é igual a \text{kPa}. Bacana, tudo consistente.

Passo 3

Calcular T_2 e P_2 (fim da compressão, usando relações isentrópicas).
  • Primeiro calcule r^{\,\gamma-1}. Aqui \gamma-1 = 0{,}4. r^{\,\gamma-1} = 18^{0{,}4} \approx 3{,}1764.
  • Então T_2 = T_1\,r^{\,\gamma-1} = 300\cdot 3{,}1764 \approx 952{,}9\\ \text{K}.
  • E P_2 = P_1\,r^{\,\gamma} = 100\cdot 18^{1{,}4} \approx 100\cdot 57{,}175 \approx 5717{,}5\\ \text{kPa}.Observação: P_2 é bastante alto (MPa) — é normal em compressões elevadas.

Passo 4

Calcular T_3 e P_3 (fim da combustão a pressão constante).
  • Como o aquecimento é a pressão constante: P_3 = P_2 \approx 5717{,}5\\ \text{kPa}.
  • E a temperatura aumenta na razão do cutoff: T_3 = T_2\,r_c = 952{,}9\cdot 2 = 1905{,}8\\ \text{K}.

Passo 5

Calcular T_4 e P_4 (fim da expansão isentrópica).
  • Usando \dfrac{V_3}{V_4}=\dfrac{r_c}{r}=\dfrac{2}{18}=0{,}111111, temos T_4 = T_3\left(\frac{r_c}{r}\right)^{\gamma-1} = 1905{,}8\cdot\left(0{,}111111\right)^{0{,}4}.Calculando a potência: \left(0{,}111111\right)^{0{,}4} \approx 0{,}4153,portanto T_4 \approx 1905{,}8\cdot 0{,}4153 \approx 791{,}6\\ \text{K}.
  • Para P_4 podemos usar P_4 = P_1\cdot \dfrac{T_4}{T_1} porque V_4=V_1: P_4 = 100\cdot \frac{791{,}6}{300} \approx 263{,}9\\ \text{kPa}.(Checa: usando a relação isentrópica também dá um valor muito próximo.)

Passo 6

Calcular a eficiência térmica \eta do ciclo (usando a fórmula direta) e interpretar.
  • Usando a fórmula: \eta = 1 - \dfrac{1}{r^{\,\gamma-1}}\cdot\dfrac{r_c^{\,\gamma}-1}{\gamma\left(r_c-1\right)}.Vamos calcular os termos: r^{\,\gamma-1} = 3{,}1764,\qquad r_c^{\,\gamma} = 2^{1{,}4}\approx 2{,}639,então \dfrac{r_c^{\,\gamma}-1}{\gamma(r_c-1)} = \dfrac{2{,}639-1}{1{,}4\cdot(2-1)} = \dfrac{1{,}639}{1{,}4}\approx 1{,}170.Multiplicando por 1/r^{\gamma-1}: \dfrac{1}{r^{\gamma-1}}\cdot\dfrac{r_c^{\gamma}-1}{\gamma(r_c-1)} \approx 0{,}3147\cdot 1{,}170 \approx 0{,}3681.Portanto \eta \approx 1 - 0{,}3681 = 0{,}6319 \approx 63{,}19\%.
  • Checagem via balanço energético (opcional, mas bom para entender): q_{\text{in}} = c_p(T_3-T_2),\qquad q_{\text{out}}=c_v(T_4-T_1),
\eta = 1 - \dfrac{q_{\text{out}}}{q_{\text{in}}}.
Computando numericamente dá praticamente o mesmo valor (diferenças mínimas por arredondamento). Resultado: eficiência térmica aproximadamente 63{,}2\%. Bom sinal: combustão em fração maior do curso e compressão elevada dá eficiência alta.

Passo 7

Calcular a pressão média efetiva (PME) em kPa (passo a passo com unidades).
  • Primeiro o trabalho líquido por unidade de massa: w_{\text{net}} = c_p(T_3-T_2) - c_v(T_4-T_1).Substituindo: c_p(T_3-T_2) \approx 1{,}005\cdot(1905{,}8-952{,}9)\approx 1{,}005\cdot 952{,}9 \approx 958{,}7\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1},
c_v(T_4-T_1) \approx 0{,}718\cdot(791{,}6-300)\approx 0{,}718\cdot 491{,}6 \approx 353{,}9\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1},
então
w_{\text{net}} \approx 958{,}7 - 353{,}9 = 604{,}8\\ \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
  • Volume específico no estado 1: v_1 = \dfrac{R T_1}{P_1} = \dfrac{0{,}287\cdot 300}{100} \approx 0{,}861\\ \text{m}^3\cdot\text{kg}^{-1}.(Aqui P_1 em kPa é consistente com R em kJ/kgK; o resultado fica em m^3/kg.)
  • O volume deslocado por unidade de massa é v_1-v_2 = v_1\left(1-\dfrac{1}{r}\right): v_1-v_2 = 0{,}861\cdot\left(1-\dfrac{1}{18}\right) = 0{,}861\cdot\dfrac{17}{18} \approx 0{,}8121\\ \text{m}^3\cdot\text{kg}^{-1}.
  • Finalmente a PME: \text{PME} = \dfrac{w_{\text{net}}}{v_1-v_2} \approx \dfrac{604{,}8}{0{,}8121} \approx 744{,}9\\ \text{kPa}.Ou seja, PME próxima de 745\\ \text{kPa}.

Passo 8

Resumo dos resultados numéricos (valores arredondados de forma razoável para provas).
  • Estado 1 (dado): T_1 = 300\\ \text{K}, P_1 = 100\\ \text{kPa}.
  • Estado 2 (fim da compressão, isentrópico): T_2 \approx 952{,}9\\ \text{K}, P_2 \approx 5717{,}5\\ \text{kPa}.
  • Estado 3 (fim da combustão, pressão constante): T_3 \approx 1905{,}8\\ \text{K}, P_3 \approx 5717{,}5\\ \text{kPa}.
  • Estado 4 (fim da expansão, isentrópico): T_4 \approx 791{,}6\\ \text{K}, P_4 \approx 263{,}9\\ \text{kPa}.
  • Eficiência térmica do ciclo: \eta \approx 0{,}6319 \approx 63{,}19\%.
  • Pressão média efetiva: \text{PME} \approx 744{,}9\\ \text{kPa}.

Resposta

T_2 \approx 952{,}9\\ \text{K},\\ P_2 \approx 5717{,}5\\ \text{kPa}
T_3 \approx 1905{,}8\\ \text{K},\\ P_3 \approx 5717{,}5\\ \text{kPa}
T_4 \approx 791{,}6\\ \text{K},\\ P_4 \approx 263{,}9\\ \text{kPa}
\eta \approx 0{,}6319 \;(\text{ou }63{,}19\%)
\text{PME} \approx 744{,}9\\ \text{kPa}

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