Questão 2 (Ciclo Otto): “A temperatura máxima em um ciclo Otto, no qual ar é inserido a 300 K e a 100 kPa , é 1973 K . O cilindro apresenta o volume de 1 L e a taxa de compressão é 8. Determine a temperatura e a pressão ao final de cada processo do ciclo, a eficiência térmica e a pressão média efetiva.”

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura e pressão na admissão (estado 1): T_1=300\\ \text{K} e p_1=100\\ \text{kPa}.
    • Temperatura máxima do ciclo (após a combustão, estado 3): T_3=1973\\ \text{K}.
    • Volume do cilindro (volume total antes da compressão, estado 1): V_1=1\\ \text{L}=0{,}001\\ \text{m}^3.
    • Taxa de compressão: r=8.
    • Considerar ar como gás ideal com calor específico adiabático típico: \gamma=1{,}4. (Usarei também R_{\text{ar}}=287\\ \text{J/(kg·K)}.)
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a temperatura e a pressão ao final de cada processo do ciclo (isto é, nos estados 1, 2, 3 e 4).
    2. Determinar a eficiência térmica do ciclo.
    3. Determinar a pressão média efetiva ( p_{\text{médio efetivo}}é).
Observação: o ciclo Otto padrão tem quatro estados:
  • 1 → 2: compressão adiabática (isentrópica) de V_1 para V_2.
  • 2 → 3: aquecimento a volume constante (combustão) de V_2 para V_2 (aumenta T e p).
  • 3 → 4: expansão adiabática (isentrópica) de V_2 para V_1.
  • 4 → 1: resfriamento a volume constante (rejeição de calor) de V_1 para V_1.
A partir disso, vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro calculo o volume em 2 (após compressão) e outras quantidades geométricas úteis.
  • Volume após compressão:
V_2=\frac{V_1}{r}=\frac{0{,}001\\ \text{m}^3}{8}=0{,}000125\\ \text{m}^3.
  • Volume deslocado (variação de volume ao longo do ciclo, importante para a pressão média efetiva):
V_{\text{d}}=V_1-V_2=0{,}001-0{,}000125=0{,}000875\\ \text{m}^3.

Passo 3

Calculo a massa de ar contida no cilindro usando a equação dos gases ideais no estado 1:
m=\frac{p_1 V_1}{R_{\text{ar}} T_1}.
Substituindo:
m=\frac{100000\\ \text{Pa}\times 0{,}001\\ \text{m}^3}{287\\ \text{J/(kg·K)}\times 300\\ \text{K}} =\frac{100}{86100}\\ \text{kg}\approx 0{,}00116144\\ \text{kg}.
Comentário rápido: isso significa cerca de 1{,}16\\ \text{g} de ar no cilindro — número pequeno porque o volume é pequeno (1 L).

Passo 4

Temperatura após a compressão isentrópica 1\to2.
Para um processo isentrópico de gás ideal vale a relação
T_2 = T_1\, r^{\gamma-1},
onde r=V_1/V_2 e \gamma é a razão de calores específicos.
Substituindo:
T_2 = 300\\ \text{K}\times 8^{\,0{,}4}.
Calculo 8^{0{,}4}. Como 8=2^3, tem-se 8^{0{,}4}=2^{1{,}2}\approx 2{,}29684. Então
T_2 \approx 300\times 2{,}29684 \approx 689{,}05\\ \text{K}.

Passo 5

Pressão no fim da compressão (estado 2) usando a relação isentrópica ou a lei dos gases.
Relação isentrópica:
\frac{p_2}{p_1}=r^{\gamma}\quad\Rightarrow\quad p_2=p_1\,r^{\gamma}.
Calculo r^{\gamma}=8^{1{,}4}=8\times 8^{0{,}4}\approx 8\times 2{,}29684\approx 18{,}3747. Então
p_2 \approx 100000\\ \text{Pa}\times 18{,}3747 \approx 1{,}837\times 10^{6}\\ \text{Pa}=1{,}837\\ \text{MPa}.
(Verificação rápida com a lei dos gases: p_2 = m R T_2 / V_2 produz valor consistente.)

Passo 6

Estado 3: aquecimento a volume constante até T_3. Já foi dado T_3=1973\\ \text{K}, então V_3=V_2 e a pressão p_3 obtém-se por proporcionalidade com a temperatura (lei dos gases em volume constante):
\frac{p_3}{p_2}=\frac{T_3}{T_2}\quad\Rightarrow\quad p_3=p_2\frac{T_3}{T_2}.
Substituindo os valores:
\frac{T_3}{T_2}=\frac{1973}{689{,}05}\approx 2{,}8635,
portanto
p_3 \approx 1{,}837\times10^{6}\\ \text{Pa}\times 2{,}8635 \approx 5{,}26\times10^{6}\\ \text{Pa}=5{,}26\\ \text{MPa}.

Passo 7

Processo 3\to4: expansão isentrópica de V_2 de volta para V_1. Temperatura em 4 pela relação isentrópica:
T_4=T_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma-1}=T_3\left(\frac{1}{r}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_3}{r^{\,\gamma-1}}.
Já calculamos r^{\gamma-1}=8^{0{,}4}\approx 2{,}29684, assim
T_4 \approx \frac{1973}{2{,}29684}\approx 859{,}00\\ \text{K}.
Pressão em 4 pela relação isentrópica ou pela lei dos gases:
p_4=p_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma}=p_3\left(\frac{1}{r}\right)^{\gamma}=\frac{p_3}{r^{\gamma}}.
Usando r^{\gamma}\approx 18{,}3747,
p_4\approx \frac{5{,}26\times10^{6}\\ \text{Pa}}{18{,}3747}\approx 2{,}86\times10^{5}\\ \text{Pa}=0{,}286\\ \text{MPa}.
(Verificação pela equação dos gases: p_4 = m R T_4 / V_4 dá valor consistente.)

Passo 8

Resumo dos estados (valores calculados até agora, arredondados adequadamente):
  • Estado 1 (entrada):
    • T_1=300\\ \text{K}
    • p_1=100\\ \text{kPa}
    • V_1=0{,}001\\ \text{m}^3
  • Estado 2 (após compressão isentrópica):
    • T_2\approx 689{,}05\\ \text{K}
    • p_2\approx 1{,}837\times10^{6}\\ \text{Pa}=1{,}837\\ \text{MPa}
    • V_2=0{,}000125\\ \text{m}^3
  • Estado 3 (após combustão, volume constante):
    • T_3=1973\\ \text{K} (dado)
    • p_3\approx 5{,}26\times10^{6}\\ \text{Pa}=5{,}26\\ \text{MPa}
    • V_3=V_2=0{,}000125\\ \text{m}^3
  • Estado 4 (após expansão isentrópica):
    • T_4\approx 859{,}00\\ \text{K}
    • p_4\approx 2{,}86\times10^{5}\\ \text{Pa}=0{,}286\\ \text{MPa}
    • V_4=V_1=0{,}001\\ \text{m}^3

Passo 9

Cálculo da eficiência térmica do ciclo Otto.
A eficiência térmica ideal do ciclo Otto (com \gamma constante) é
\eta=1-r^{\,1-\gamma}=1-\frac{1}{r^{\,\gamma-1}}.
Substituindo r=8 e \gamma=1{,}4 (portanto \gamma-1=0{,}4 e r^{\gamma-1}\approx 2{,}29684):
\eta = 1-\frac{1}{2{,}29684}\approx 1-0{,}43548\approx 0{,}56452.
Em porcentagem:
\eta \approx 56{,}45\% .
Comentário didático: essa fórmula vem do fato de que, num Otto com calor específico constante, a razão entre calor rejeitado e calor fornecido reduz-se a uma função só de r e \gamma. Portanto aumentando r a eficiência cresce (mas na prática há limites por detonação, perdas, variação de c_p, etc.).

Passo 10

Cálculo da pressão média efetiva ( p_{\text{méf}}é). Definição prática:
p_{\text{méf}}=\frac{\text{trabalho líquido por ciclo}}{V_{\text{d}}}.éí
O trabalho líquido por ciclo (energia por ciclo total) é W_{\text{net}}=m\cdot w_{\text{net,kg}}, onde w_{\text{net,kg}}=q_{\text{in}}-q_{\text{out}} por unidade de massa. Para calor em processos a volume constante com c_v constante:
q_{\text{in}}=c_v(T_3-T_2),\qquad q_{\text{out}}=c_v(T_4-T_1).
Usando c_v=\dfrac{R}{\gamma-1}=\dfrac{287}{0{,}4}=717{,}5\\ \text{J/(kg·K)}, temos:
  • q_{\text{in}}=717{,}5\,(1973-689{,}05)\\ \text{J/kg}.
    q_{\text{in}}\approx 717{,}5\times 1283{,}95\approx 921{,}233\\ \text{kJ/kg}? \text{ (em J/kg: }9,21\times10^{5}\text{)}
    Para manter unidade correta: q_{\text{in}}\approx 9{,}21\times10^{5}\\ \text{J/kg}.
  • q_{\text{out}}=717{,}5\,(859{,}00-300)\\ \text{J/kg}=717{,}5\times 559{,}00\approx 4{,}01\times10^{5}\\ \text{J/kg}.
  • Trabalho líquido por unidade de massa:
w_{\text{net,kg}}=q_{\text{in}}-q_{\text{out}}\approx 9{,}21\times10^{5}-4{,}01\times10^{5}\approx 5{,}20\times10^{5}\\ \text{J/kg}.
  • Trabalho líquido por ciclo (massa total m):
W_{\text{net}}=m\,w_{\text{net,kg}}\approx 0{,}00116144\\ \text{kg}\times 5{,}2014\times10^{5}\\ \text{J/kg}\approx 604\\ \text{J}.
Agora a pressão média efetiva:
p_{\text{méf}}=\frac{W_{\text{net}}}{V_{\text{d}}} \approx \frac{604\\ \text{J}}{0{,}000875\\ \text{m}^3}\approx 6{,}90\times10^{5}\\ \text{Pa}=690\\ \text{kPa}.é
Comentário: p_{\text{méf}}é é uma medida útil da “força média” produzida pelo ciclo dividida pela área do pistão; valores elevados indicam bom aproveitamento do ciclo (na prática, perdas reduzem isso).

Passo 11

Checagens rápidas (para ganhar confiança):
  • Relações isentrópicas e lei dos gases aplicadas dão resultados consistentes entre si (por exemplo, usar p_2=p_1 r^{\gamma} ou p_2=mRT_2/V_2 dá o mesmo p_2).
  • A eficiência via 1-1/r^{\gamma-1} bate com a razão entre trabalhos calculados por q's.

Resposta

T_1=300\\ \text{K},\; p_1=100\\ \text{kPa}
T_2\approx 689{,}05\\ \text{K},\; p_2\approx 1{,}837\\ \text{MPa}
T_3=1973\\ \text{K},\; p_3\approx 5{,}26\\ \text{MPa}
T_4\approx 859{,}00\\ \text{K},\; p_4\approx 0{,}286\\ \text{MPa}
\eta\approx 0{,}5645\\ (56{,}45\%)
p_{\text{médio efetivo}}\approx 690\\ \text{kPa}é

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