Questão 11: Um ciclo de refrigeração

Justifique sua resposta

operando entre dois reservatórios recebe energia \mathrm{Q}_{\mathrm{c}} de um reservatório frio a \mathrm{T}_{\mathrm{c}}= 250 K e rejeita \mathrm{Q}_{\mathrm{H}} para um reservatório quente a \mathrm{T}_{\mathrm{H}}=300 \mathrm{~K}. Se \mathrm{Q}_{\mathrm{C}}=10.400 \mathrm{~kJ} \mathrm{e} \mathrm{W}_{\text {ciclo }}=140 \mathrm{~kJ}, este ciclo opera de maneira reversível, irreversível ou é impossível?
a) Reversível.
b) Irreversível.
c) É impossível.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Recebe calor do reservatório frio: Q_{\mathrm{c}}=10400\\ \text{kJ}.
    • Temperatura do reservatório frio: T_{\mathrm{c}}=250\\ \text{K}.
    • Rejeita calor para o reservatório quente: Q_{\mathrm{H}} (valor não dado diretamente).
    • Temperatura do reservatório quente: T_{\mathrm{H}}=300\\ \text{K}.
    • Trabalho fornecido ao ciclo (entrada de trabalho): W_{\text{ciclo}}=140\\ \text{kJ}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar se o ciclo opera de maneira reversível, irreversível ou é impossível, e justificar.

Passo 2

Entender fisicamente o que significa cada possibilidade (de forma simples e intuitiva).
  • Reversível: o ciclo seria ideal e saturaria a segunda lei; a entropia total do universo não muda ( \Delta S_{\text{universo}}=0). Para um refrigerador/heat pump ideal entre duas temperaturas a eficiência (COP) atinge um máximo dado pelo ciclo de Carnot.
  • Irreversível: possível fisicamente, mas cria entropia no universo ( \Delta S_{\text{universo}}>0); seu desempenho (COP) é sempre menor que o máximo de Carnot.
  • Impossível: viola a segunda lei (por exemplo, produzir um desempenho melhor do que o limite de Carnot ou reduzir a entropia total), logo não pode ocorrer.

Passo 3

Definir e explicar a medida de desempenho apropriada: coeficiente de desempenho (COP) para um refrigerador que recebe Q_{\mathrm{c}} do reservatório frio e precisa de trabalho W.
  • Definição: o coeficiente de desempenho do refrigerador é a razão entre o calor retirado do frio e o trabalho fornecido:
\text{COP} \equiv \frac{Q_{\mathrm{c}}}{W_{\text{ciclo}}}.
  • Interpretação: quanto maior a COP, mais eficiente é o uso do trabalho para remover calor do reservatório frio.
  • Para um ciclo reversível ideal (Carnot) operando entre T_{\mathrm{c}} e T_{\mathrm{H}}, o COP máximo é
\text{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{c}}}.
Aqui T_{\mathrm{c}} e T_{\mathrm{H}} devem estar em kelvin. Essa fórmula é derivada aplicando-se a condição \Delta S_{\text{universo}}=0 para o ciclo reversível (posso explicar a derivação se quiser, mas a fórmula é padrão).

Passo 4

Calcular o COP real do ciclo com os números dados.
\text{COP}_{\text{real}}=\frac{Q_{\mathrm{c}}}{W_{\text{ciclo}}}=\frac{10400}{140}=74{,}2857\ldots\approx74{,}29.
Explicando os passos: dividiu-se a quantidade de calor retirada do frio pelo trabalho fornecido; obtivemos um número muito grande, cerca de 74{,}3.

Passo 5

Calcular o COP de Carnot entre as temperaturas dadas.
\text{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{c}}}=\frac{250}{300-250}=\frac{250}{50}=5.
Interpretação: nenhum refrigerador reversível nem irreversível pode ter \text{COP}>\text{COP}_{\text{Carnot}}. O valor 5 é o máximo físico permitido entre essas duas temperaturas.

Passo 6

Comparar os valores e concluir pela impossibilidade se houver violação.
  • Temos \text{COP}_{\text{real}}\approx74{,}29 e \text{COP}_{\text{Carnot}}=5.
  • Como \text{COP}_{\text{real}}>\text{COP}_{\text{Carnot}}, isso violaria o limite imposto pela segunda lei da termodinâmica; portanto esse ciclo, com esses números, é impossível.

Passo 7

(Função de verificação alternativa — argumento por entropia) Calcular Q_{\mathrm{H}} e a variação de entropia do universo para checar a violação da segunda lei.
  • Primeiro obter Q_{\mathrm{H}} pela conservação de energia do ciclo:
Q_{\mathrm{H}}=Q_{\mathrm{c}}+W_{\text{ciclo}}=10400+140=10540\\ \text{kJ}.
  • A variação de entropia dos reservatórios (tratando-os como grandes reservatórios isotérmicos) é:
\Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\mathrm{H}}+\Delta S_{\mathrm{c}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}}.
  • Substituindo números:
\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}=\frac{10540}{300}\approx35{,}1333\\ \text{kJ/K},
\frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}}=\frac{10400}{250}=41{,}6\\ \text{kJ/K},
\Delta S_{\text{universo}}\approx35{,}1333-41{,}6=-6{,}4667\\ \text{kJ/K}.
  • Resultado: \Delta S_{\text{universo}}<0, o que é impossível segundo a segunda lei (a entropia total do universo não pode diminuir). Isto confirma a conclusão anterior pela COP.

Passo 8

Conclusão final, motivada e motivadora (um empurrãozinho para você na prova).
  • Os números dados implicam desempenho impossível: tanto pelo fato de o COP calculado exceder o máximo de Carnot quanto porque a variação de entropia do universo ficaria negativa. Portanto o ciclo, com esses valores, não pode existir na realidade.
  • Fica a dica: para checar rapidamente se um refrigerador é fisicamente possível compare \text{COP}=\dfrac{Q_{\mathrm{c}}}{W} com \text{COP}_{\text{Carnot}}=\dfrac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{c}}}. Se \text{COP}>\text{COP}_{\text{Carnot}}, está impossível — é um atalho útil na prova.

Resposta

c) É impossível.

Exercícios relacionados