Questão 9: Em um sistema isolado:
a) A energia total e a entropia decrescem
b) A energia total e a entropia aumentam
c) A energia total é constante e a entropia aproxima-se de um valor máximo
d) A energia total aumenta e a entropia aproxima-se de um valor mínimo
e) N.D.A.

Passo 1

O enunciado diz: “Em um sistema isolado:” e apresenta cinco alternativas possíveis:
a) A energia total e a entropia decrescem
b) A energia total e a entropia aumentam
c) A energia total é constante e a entropia aproxima-se de um valor máximo
d) A energia total aumenta e a entropia aproxima-se de um valor mínimo
e) N.D.A.
O que é pedido: escolher qual alternativa está correta para um sistema isolado.
Informações implícitas fornecidas pelo enunciado (essas são as condições do problema):
  • O sistema é isolado (não troca energia nem matéria com o ambiente).

Passo 2

Definição clara do que significa “sistema isolado” e consequências imediatas sobre energia total.
Um sistema isolado é aquele que não troca calor, trabalho nem matéria com o ambiente. Em termos das trocas usuais:
  • não há calor trocado: \delta Q = 0,
  • não há trabalho entregue ao/recebido do ambiente: \delta W = 0,
  • não há troca de matéria.
Da Primeira Lei da Termodinâmica (conservação de energia), em forma diferencial:
dU = \delta Q - \delta W.
Como para um sistema isolado \delta Q = 0 e \delta W = 0, temos:
dU = 0.
Portanto a energia interna total U do sistema isolado é constante no tempo. Isto já elimina qualquer alternativa que diga que a energia total aumenta ou diminui.

Passo 3

O que é entropia e por que ela importa aqui (intuição qualitativa).
Entropia S é uma grandeza termodinâmica que mede, de forma física, o “grau de desordem” ou, melhor, a multiplicidade de microestados compatíveis com um dado estado macroscópico. Uma formulação microscópica é a fórmula de Boltzmann:
S = k \ln \Omega,
onde k é a constante de Boltzmann e \Omega é o número de microestados acessíveis. Quanto maior \Omega, maior S. Entropia também está relacionada com a irreversibilidade e com a tendência dos sistemas isolados de “espalhar” energia internamente até alcançar um estado mais provável (equilíbrio).

Passo 4

Enunciado da Segunda Lei para sistemas isolados e sua forma usada aqui.
Uma forma útil da Segunda Lei é:
  • Para um sistema isolado, a entropia total não diminui com o tempo; ou seja,
\Delta S_{\text{total}} \ge 0.
Além disso, quando o sistema alcança o equilíbrio termodinâmico, não há mais mudanças macroscópicas e a entropia atinge seu valor máximo compatível com as restrições (energia total fixa, volume fixo, etc.). Em palavras simples: num isolado, a entropia tende a aumentar até atingir um máximo no equilíbrio.

Passo 5

Demonstrar (de forma simples e direta) por que a entropia máxima corresponde ao equilíbrio, usando dois subsistemas como exemplo.
Considere o sistema isolado dividido mentalmente em duas partes 1 e 2, com energias U_1 e U_2 tais que
U_1 + U_2 = U_{\text{total}} \quad(\text{fixo}).
A entropia total é
S_{\text{tot}}(U_1) = S_1(U_1) + S_2(U_2) = S_1(U_1) + S_2(U_{\text{total}}-U_1).
Para encontrar o estado mais provável (equilíbrio), maximizamos S_{\text{tot}} em relação a U_1. A condição de extremo é:
\frac{dS_{\text{tot}}}{dU_1} = \frac{dS_1}{dU_1} - \frac{dS_2}{dU_2}\frac{dU_2}{dU_1} = 0.
Como dU_2/dU_1 = -1, obtemos
\frac{dS_1}{dU_1} = \frac{dS_2}{dU_2}.
Mas, pela definição termodinâmica da temperatura,
\frac{\partial S}{\partial U} = \frac{1}{T}.
Logo a condição anterior fica
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{T_2} \quad\Rightarrow\quad T_1 = T_2.
Isto significa que no extremo de S_{\text{tot}} as temperaturas das partes são iguais — isto é o equilíbrio térmico. Para verificar que é máximo (e não mínimo), nota-se que a entropia como função da energia é concava (segunda derivada negativa), o que garante que o extremo é um máximo. Assim, o processo espontâneo leva o sistema a um estado em que a entropia total é máxima sob a restrição de energia total fixa.

Passo 6

Resumo das conclusões físicas e ligação com as alternativas do enunciado.
  • Energia total: por conservação (Primeira Lei) e pelo fato de o sistema ser isolado, a energia total é constante; não pode aumentar nem diminuir.
  • Entropia: pela Segunda Lei, a entropia do sistema isolado não diminui; durante processos irreversíveis internos ela aumenta até atingir um valor máximo quando o sistema alcança o equilíbrio. Portanto a entropia “aproxima-se de um valor máximo” (isto é, cresce até o máximo permitido pelas restrições).

Passo 7

Eliminar as alternativas incorretas rapidamente:
  • a) “energia total e entropia decrescem” — energia não decai (é constante); entropia não necessariamente decresce (na verdade não pode diminuir globalmente). Logo falso.
  • b) “energia total e entropia aumentam” — energia não aumenta; falso.
  • d) “energia total aumenta e entropia aproxima-se de um valor mínimo” — energia não aumenta; além disso entropia tende a máximo, não mínimo. Falso.
  • e) “N.D.A.” — já vimos que há uma alternativa correta, então falsa.

Passo 8

Encorajamento final curto: lembra que na prova é útil fixar mentalmente duas frases-chave — “isolado: energia constante” e “isolado: entropia não diminui; tende ao máximo no equilíbrio” — isso ajuda a responder rápido questões desse tipo.

Resposta

c) A energia total é constante e a entropia aproxima-se de um valor máximo

Exercícios relacionados