Questão 11 - O sinal de tempo contínuo
x_{c}(t)=\operatorname{sen}(20 \pi t)+\cos (40 \pi t)
é amostrado com um período de amostragem T para obter o sinal de tempo discreto
x[n]=\operatorname{sen}[\pi n / 5]+\cos [2 \pi n / 5]
(a) Determine uma escolha para T consistente com esta informação.
(b) A sua escolha por T na parte (a) é única? Se sim, explique por quê. Caso contrário, especifique outra escolha de T consistente com as informações fornecidas.

Passo 1

O enunciado dá o sinal contínuo
x_{c}(t)=\sin(20\pi t)+\cos(40\pi t)
e diz que ao amostrar com período T obtemos
x[n]=x_{c}(nT)=\sin\bigl(\tfrac{\pi n}{5}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{2\pi n}{5}\bigr).
Então precisamos escolher T tal que
\sin(20\pi\,nT)=\sin\Bigl(\tfrac{\pi n}{5}\Bigr) \quad\text{e}\quad \cos(40\pi\,nT)=\cos\Bigl(\tfrac{2\pi n}{5}\Bigr)
para todo inteiro n.

Passo 2

Para garantir igualdade de argumentos (até múltiplos de 2\pi), escrevemos
20\pi\,T=\frac{\pi}{5}+2\pi\,m, \quad 40\pi\,T=\frac{2\pi}{5}+2\pi\,k,
com m,k\in\mathbb{Z}. Dividindo ambas as igualdades por 2\pi obtemos
10\,T=\frac{1}{10}+m, \quad 20\,T=\frac{1}{5}+k.

Passo 3

Isolando T em cada uma:
T=\frac{1/10 + m}{10}=\frac{1+10m}{100}, \quad T=\frac{1/5 + k}{20}=\frac{2+10k}{200}=\frac{1+5k}{100}.
Para ambas serem iguais precisamos de
1+10m=1+5k \quad\Longrightarrow\quad 10m=5k \quad\Longrightarrow\quad k=2m.

Passo 4

Logo a família de soluções é
T=\frac{1+10m}{100}, \quad m\in\mathbb{Z}.
A menor escolha positiva surge para m=0, dando
T=\frac{1}{100}\\ \text{segundos}.

Passo 5

Como m pode ser qualquer inteiro, existem infinitas soluções positivas. Por exemplo, se m=1 temos
T=\frac{1+10\cdot1}{100}=\frac{11}{100}\\ \text{segundos},
que também satisfaz o enunciado.

Resposta

(a) \displaystyle T=\tfrac{1}{100} segundos.
(b) Não é única: em geral
\displaystyle T=\tfrac{1+10m}{100} segundos, m\in\mathbb{Z}. Por exemplo, T=11/100 s também funciona.

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