Questão 12. Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na frequência de excitação de 40 Hz . Usando estas informações estime o fator de amortecimento 
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma máquina ferramenta de 82 kg montada em uma fundação que é elástica, ou seja, pode vibrar. Foi feito um teste onde aplicaram uma força harmônica de 8000 N em diferentes frequências e mediram a amplitude máxima de vibração, que foi de 4.1 mm quando a frequência de excitação foi de 40 Hz. Nosso objetivo aqui é estimar dois parâmetros importantes da fundação: o fator de amortecimento (
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de rigidez (
Mas, como não temos a frequência natural diretamente, podemos usar a frequência de excitação e a amplitude para encontrar 
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o fator de amortecimento (
A amplitude (
onde:
- 
é a magnitude da força aplicada, 
- 
é a razão entre a frequência de excitação ( ) e a frequência natural ( ). 
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para encontrar 
Podemos isolar 
Mas ainda não sabemos 
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos na equação da amplitude. Sabemos que:
Substituindo na equação da amplitude:
Passo 6
Precisamos expressar 
E 
Então:
Passo 7
Agora, vamos resolver as equações para encontrar 
Primeiro, isolamos 
Vamos definir 
Isso nos dá uma relação entre 
Passo 8
Para simplificar, vamos assumir que o sistema está próximo da ressonância, onde 
Isolando 
Substituindo 
Passo 9
Agora, precisamos encontrar uma relação para 
Como assumimos 
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por 
Elevando ao quadrado:
Passo 10
Calculando o valor de 
Passo 11
Agora que temos 
Resposta
O fator de amortecimento 
