Questão 12: Os raios dos condutores interno e externo de um cabo coaxial são 2 c m e 5 c m, respectivamente, e o material entre eles tem uma permissividade relativa de 4 . \mathrm{A} densidade de carga no condutor externo é \rho_{l}=10^{-4}(\mathrm{C} / \mathrm{m}). Determine a energia total armazenada em um cabo de 80 cm de comprimento.

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial com raio interno a=2\,\mathrm{cm}=0,02\,\mathrm{m}, raio externo b=5\,\mathrm{cm}=0,05\,\mathrm{m} e dielétrico com permissividade relativa \varepsilon_{r}=4, logo
\varepsilon = 4\,\varepsilon_{0}.
A densidade linear de carga no condutor externo (em módulo) é \lambda=10^{-4}\,\mathrm{C/m}. Queremos a energia total armazenada em comprimento L=80\,\mathrm{cm}=0,8\,\mathrm{m}. Para isso, usaremos a densidade de energia do campo elétrico
u = \frac12\,\varepsilon\,E^2
e integraremos sobre o volume entre os condutores.

Passo 2

Entre a<r<b, pelo teorema de Gauss, o campo elétrico é
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon\,r}.

Passo 3

A energia total em L é
U=\int_{V}u\,dV =\int_{a}^{b}\frac12\,\varepsilon\Bigl(\frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon\,r}\Bigr)^{2}(2\pi\,r\,L)\,dr.
Simplificando, obtém-se
U=\frac{\lambda^{2}L}{4\pi\,\varepsilon}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r} =\frac{\lambda^{2}L}{4\pi\,\varepsilon}\ln\!\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr).

Passo 4

Substituindo \lambda=10^{-4}\,\mathrm{C/m}, L=0,8\,\mathrm{m}, \varepsilon=4\varepsilon_{0}, \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, a=0,02\,\mathrm{m} e b=0,05\,\mathrm{m}, temos
U =\frac{(10^{-4})^{2}\cdot0,8}{4\pi\cdot4\cdot8{,}854\times10^{-12}} \ln\!\Bigl(\frac{0,05}{0,02}\Bigr) \approx16,5\\ \mathrm{J}.

Resposta

A energia total armazenada no cabo de 80 cm é aproximadamente 16{,}5\\ \mathrm{J}.

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