Questão 13 - Calcule a série discreta de Fourier para as sequências a seguir:
\tilde{x}[n]=2 \cos [\pi n / 4]+10 \operatorname{sen}[3 \pi n / 8];

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Série Discreta de Fourier (DTFS) de duas sequências periódicas:
  1. \displaystyle \tilde{x}[n]=2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi n}{4}\bigr)+10\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi n}{8}\bigr).
  2. A sequência de impulsos de amplitude 1 mostrada na figura, que repete pulse em n=0 e n=1 a cada 4 amostras.
Para sinal periódico de período N, a definição de DTFS é
X[k] \;=\;\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn},
e a síntese
x[n] \;=\;\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]\,e^{j\frac{2\pi}{N}kn}.

Passo 2

Analisando \tilde{x}[n]:
  • A componente 2\cos(\tfrac{\pi n}{4}) tem frequência \omega_1=\tfrac{\pi}{4} e período N_1=2\pi/\omega_1=8.
  • A componente 10\sin(\tfrac{3\pi n}{8}) tem \omega_2=\tfrac{3\pi}{8} e período N_2=2\pi/\omega_2=\tfrac{16}{3}.
    Para obter período inteiro, escolhemos o múltiplo mínimo de N_2 que seja inteiro: N_2'=3\times\tfrac{16}{3}=16.
    Logo o período comum é
N=\mathrm{lcm}(8,16)=16,
de modo que \tilde{x}[n] é periódica de período 16.

Passo 3

Escrevendo cosseno e seno em termos de exponenciais:
2\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi n}{4}\Bigr) = e^{j\frac{\pi}{4}n} + e^{-j\frac{\pi}{4}n},
10\sin\!\Bigl(\tfrac{3\pi n}{8}\Bigr) =\frac{10}{2j}\Bigl(e^{j\frac{3\pi}{8}n}-e^{-j\frac{3\pi}{8}n}\Bigr) =(-5j)\,e^{j\frac{3\pi}{8}n} +5j\,e^{-j\frac{3\pi}{8}n}.

Passo 4

No DTFS de período N=16 o passo angular é \omega_0=\tfrac{2\pi}{16}=\tfrac{\pi}{8}.
Comparando
x[n] = e^{j\frac{\pi}{4}n}+e^{-j\frac{\pi}{4}n} -5j\,e^{j\frac{3\pi}{8}n} +5j\,e^{-j\frac{3\pi}{8}n}
com
x[n]=\sum_{k=0}^{15}X[k]\,e^{jk\omega_0 n},
vemos que os únicos termos não nulos são
e^{j\frac{\pi}{4}n}=e^{j2\omega_0 n}\quad\Rightarrow\;k=2, \qquad e^{-j\frac{\pi}{4}n}=e^{j14\omega_0 n}\quad\Rightarrow\;k=14,
e^{j\frac{3\pi}{8}n}=e^{j3\omega_0 n}\quad\Rightarrow\;k=3, \qquad e^{-j\frac{3\pi}{8}n}=e^{j13\omega_0 n}\quad\Rightarrow\;k=13.
Portanto
X[2]=1,\quad X[14]=1,\quad X[3]=-5j,\quad X[13]=5j,
e X[k]=0 para os demais k (índices modulados em 16).

Passo 5

Para a sequência de impulsos: ela é periódica de N=4 com valores no período básico
x[0]=1,\quad x[1]=1,\quad x[2]=0,\quad x[3]=0.

Passo 6

Calculando os coeficientes pelo somatório
X[k] =\sum_{n=0}^{3}x[n]\,e^{-j\frac{2\pi}{4}kn} =1\cdot e^{-j0}+1\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}k} =1+e^{-j\frac{\pi}{2}k},
para k=0,1,2,3, e estendido ciclicamente com período 4.

Resposta

(a) Para \displaystyle \tilde{x}[n] de período 16:
X[2]=1,\quad X[14]=1,\quad X[3]=-5j,\quad X[13]=5j,
e X[k]=0 para os demais k (módulo 16).
(b) Para a sequência de impulsos de período 4:
X[k] = 1 + e^{-j\frac{\pi}{2}k},\quad k=0,1,2,3,
com extensão periódica de período 4.

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