Questão-17 - (Cefet MG)

Sejam os conjuntos formados por elementos distintos tais que \mathrm{A}=\{\mathrm{x}, 3,4,5,6\} e \mathrm{B}=\{\mathrm{y}, 2,4\}, onde x e y \in N.
Se \mathrm{A}-\mathrm{B}=\{3,5\}, então a diferença \mathrm{x}-\mathrm{y} vale
a) -4
b) -2
c) 2
d) 4

Passo 1

O enunciado fornece os conjuntos (todos os elementos são distintos) e pede a diferença entre x e y:
  • A=\{\;x,\,3,\,4,\,5,\,6\;\} (peguei isso do enunciado).
  • B=\{\;y,\,2,\,4\;\} (peguei isso do enunciado).
  • Sabe-se que x,y\in\mathbb{N} (peguei isso do enunciado).
  • Foi dado que A-B=\{3,5\} (peguei isso do enunciado).
O que a questão pede: determinar o valor de x-y.

Passo 2

Definição importante (explicação didática): a diferença de conjuntos A-B é o conjunto de todos os elementos que estão em A e não estão em B. Em símbolos:
A-B=\{a\in A \mid a\notin B\}.
Isso significa que, se um elemento de A não aparece em A-B, então ele deve pertencer a B.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso: como A-B=\{3,5\}, os únicos elementos de A que não estão em B são 3 e 5. Portanto todos os outros elementos de A devem estar em B. Como A tem os elementos x,3,4,5,6, deduz-se que
\{4,6,x\}\subseteq B.

Passo 4

Mas B é exatamente \{y,2,4\}. Logo os elementos 4,6,x têm de ser elementos desse conjunto. Como 4\in B já coincide com o 4 comum aos dois conjuntos, resta fazer corresponder 6 e x aos elementos \{y,2\} de B.

Passo 5

Usando a informação de que todos os elementos são distintos e que 2 e 4 já são números diferentes de 6:
  • 6 não pode ser igual a 2 nem a 4. Então a única maneira de ter 6\in B é que 6 seja o valor de y. Portanto
y=6.

Passo 6

Com y=6, o conjunto B é \{6,2,4\}. Precisamos que x\in B e, por distinção de elementos em A, x não pode ser 3,4,5,6. Assim, entre os elementos de B restantes ( 2 e 4), x só pode ser 2 (não pode ser 4 nem 6). Logo
x=2.

Passo 7

Agora calculamos a diferença pedida:
x-y=2-6=-4.

Resposta

-4

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