Questāo 19: Que são eixos principais de inércia?
A) Sáo eixos onde os momentos de inércia sảo nulos
B) Sáo os eixos cujos valores dos momentos de inércia sảo extremos (máximo e mínimo)
C) Sāo eixos onde o produto de inércia é máximo
D) Todas as opçōes anteriores
E) Nenhuma das opçōes anteriores

Passo 1

O enunciado pergunta “o que são eixos principais de inércia?”. Isso envolve o tensor de inércia de um corpo rígido, que é uma matriz simétrica cuja forma depende da orientação do eixo escolhido. Para resolver, vamos usar dois fatos fundamentais: (1) a diagonalização de matrizes simétricas por mudança de base ortonormal e (2) a interpretação física dos momentos de inércia como função da direção do eixo.

Passo 2

Seja I o tensor de inércia em um ponto (por exemplo, o centro de massa). Para um eixo unitário \mathbf{n}, o momento de inércia em torno desse eixo é
\mathcal{I}(\mathbf{n}) = \mathbf{n}^T\,I\,\mathbf{n}.
Como I é simétrico, existe uma base ortonormal formada pelos seus autovetores \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}. Nessa base, I fica diagonal e os elementos fora da diagonal (os produtos de inércia) são zero.

Passo 3

A expressão \mathcal{I}(\mathbf{n}) atinge valores críticos quando \mathbf{n} é um autovetor de I. Esses valores críticos são exatamente os autovalores de I, que correspondem aos momentos de inércia máximos e mínimos possíveis para eixos que passam pelo mesmo ponto. Logo, nos eixos principais:
  1. Os produtos de inércia se anulam (porque I está diagonal).
  2. Os momentos de inércia são valores extremos (máximos ou mínimos) de \mathcal{I}(\mathbf{n}).

Passo 4

Analisando as alternativas:
A) «são eixos onde os momentos de inércia são nulos» – falso. Momentos em eixos principais não são zero, mas sim autovalores que podem ser grandes ou pequenos, porém não necessariamente zero.
B) «são os eixos cujos valores dos momentos de inércia são extremos (máximo e mínimo)» – correto, é a definição de autovalores de I.
C) «são eixos onde o produto de inércia é máximo» – falso, o produto de inércia em eixos principais é zero, não máximo.
D) e E) entram em contradição com a análise acima.

Resposta

B) São os eixos cujos valores dos momentos de inércia são extremos (máximo e mínimo).

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