Questão 1 (Baseado em Rice University - “Bubble and Dew Point Calculations”):
Considere a mistura binária ideal benzeno/tolueno com fração molar líquida x benzeno =0,45 \times benzeno =0,45 a pressão constante de 0,95 bar. Dados de Antoine.
a) Determine a composição da fase vapor no ponto de bolha assumindo que temperatura de bolha é de 91,5^{\circ} \mathrm{C} (1 ponto).

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Fração molar da fase líquida de benzeno: x_{\text{benzeno}}=0,45.
  • Mistura binária benzeno / tolueno à pressão constante P_{\text{tot}}=0,95\\ \text{bar}.
  • Temperatura de bolha (assumida): T_{\text{bolha}}=91,5^\circ\mathrm{C}.
  • Pede: determinar a composição da fase vapor no ponto de bolha, isto é, encontrar y_{\text{benzeno}} (e, por complemento, y_{\text{tolueno}}=1-y_{\text{benzeno}}).
Além disso o enunciado menciona “Dados de Antoine”. Vou usar coeficientes de Antoine padrão (tabelados) para benzeno e tolueno e explicitar quais estou usando.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, passo a passo):
  • Ponto de bolha a pressão fixa: a primeira bolha de vapor aparece quando a fase líquida começa a vaporizar. Para uma mistura ideal, vale a lei de Raoult para cada componente na condição de equilíbrio líquido–vapor:
y_i = \frac{x_i\,P_i^{\text{sat}}(T)}{P_{\text{tot}}},
onde
  • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida,
  • y_i é a fração molar do componente i na fase vapor,
  • P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor saturado do componente i à temperatura T,
  • P_{\text{tot}} é a pressão total do sistema.
  • Para obter P_i^{\text{sat}}(T) usamos a equação de Antoine (forma usual base 10):
\log_{10}\! \bigl(P_i^{\text{sat}}\bigr) = A_i - \frac{B_i}{T^\circ + C_i},
onde
  • P_i^{\text{sat}} fica na mesma unidade usada nos coeficientes (aqui usarei \mathrm{mmHg}),
  • T^\circ é a temperatura em ^\circ\mathrm{C},
  • A_i,B_i,C_i são os coeficientes de Antoine do componente i.
  • Depois, se necessário, converto P_i^{\text{sat}} de \mathrm{mmHg} para \mathrm{bar} usando
1\\ \mathrm{mmHg} = 133{,}322\\ \mathrm{Pa}=0{,}00133322\\ \mathrm{bar}.

Passo 3

Vou explicitar os coeficientes de Antoine que estou usando (valores tabulados, forma \log_{10}(P_{\mathrm{mmHg}})=A - B/(T+C), válidos em faixa de temperatura cobrindo 91{,}5^\circ\mathrm{C}):
  • Benzeno:
A=6{,}90565,\qquad B=1211{,}033,\qquad C=220{,}790.
  • Tolueno:
A=6{,}95464,\qquad B=1344{,}800,\qquad C=219{,}480.
(Estes são coeficientes padrão encontrados em tabelas; a unidade de P^{\text{sat}} resultante é \mathrm{mmHg} quando T está em ^\circ\mathrm{C}.)

Passo 4

Calcular P_{\text{benzeno}}^{\text{sat}}(91{,}5^\circ\mathrm{C}) via Antoine. Primeiro o denominador da fração:
T+C_{\text{benzeno}} = 91{,}5 + 220{,}790 = 312{,}29.
Agora
\log_{10}\! \bigl(P_{\text{benzeno}}^{\text{sat}}/\mathrm{mmHg}\bigr) = 6{,}90565 - \frac{1211{,}033}{312{,}29}.
Calculemos a divisão (mostrando o raciocínio numérico):
\frac{1211{,}033}{312{,}29}\approx 3{,}8780,
portanto
\log_{10}\! \bigl(P_{\text{benzeno}}^{\text{sat}}/\mathrm{mmHg}\bigr)\approx 6{,}90565 - 3{,}8780 = 3{,}02765.
Tomando potência de base 10,
P_{\text{benzeno}}^{\text{sat}}\approx 10^{3{,}02765}\\ \mathrm{mmHg}\approx 1065{,}0\\ \mathrm{mmHg}.
Converter para \mathrm{bar}:
P_{\text{benzeno}}^{\text{sat}}\approx 1065{,}0\times 0{,}00133322\\ \mathrm{bar}\approx 1{,}420\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

Calcular P_{\text{tolueno}}^{\text{sat}}(91{,}5^\circ\mathrm{C}). Primeiro
T+C_{\text{tolueno}} = 91{,}5 + 219{,}480 = 310{,}98.
Então
\log_{10}\! \bigl(P_{\text{tolueno}}^{\text{sat}}/\mathrm{mmHg}\bigr) = 6{,}95464 - \frac{1344{,}800}{310{,}98}.
A divisão dá aproximadamente
\frac{1344{,}800}{310{,}98}\approx 4{,}3249,
logo
\log_{10}\! \bigl(P_{\text{tolueno}}^{\text{sat}}/\mathrm{mmHg}\bigr)\approx 6{,}95464 - 4{,}3249 = 2{,}6297.
Portanto
P_{\text{tolueno}}^{\text{sat}}\approx 10^{2{,}6297}\\ \mathrm{mmHg}\approx 426{,}7\\ \mathrm{mmHg}.
Converter para \mathrm{bar}:
P_{\text{tolueno}}^{\text{sat}}\approx 426{,}7\times 0{,}00133322\\ \mathrm{bar}\approx 0{,}5689\\ \mathrm{bar}.

Passo 6

Aplicar a lei de Raoult para obter y_{\text{benzeno}}:
y_{\text{benzeno}} = \frac{x_{\text{benzeno}}\,P_{\text{benzeno}}^{\text{sat}}}{P_{\text{tot}}}.
Substituindo os números (todos em \mathrm{bar}):
y_{\text{benzeno}} \approx \frac{0{,}45\times 1{,}420}{0{,}95}.
Calcule:
\frac{1{,}420}{0{,}95}\approx 1{,}4947, \qquad y_{\text{benzeno}}\approx 0{,}45\times 1{,}4947 \approx 0{,}6726.
Para consistência, a fração molar do tolueno no vapor é
y_{\text{tolueno}} = 1 - y_{\text{benzeno}}\approx 1 - 0{,}6726 = 0{,}3274.
(Observação didática: se somarmos y_{\text{benzeno}} e y_{\text{tolueno}} obtém-se aproximadamente 1; pequenas discrepâncias numéricas vêm de arredondamentos intermediários.)

Passo 7

Interpretação rápida e dica para a prova: aqui não foi necessário resolver uma equação não-linear porque a temperatura de bolha foi dada. Se a temperatura não fosse dada, no ponto de bolha teria que resolver
P_{\text{tot}} = x_1 P_1^{\text{sat}}(T)+x_2 P_2^{\text{sat}}(T)
para a incógnita T (isto geralmente requer iteração). Como T foi informado, basta calcular P_i^{\text{sat}}(T) (Antoine) e aplicar Raoult (fórmula direta). Na prova: escreva sempre as unidades, detalhe a conversão de pressão e deixe claro qual forma da equação de Antoine foi usada.

Resposta

y_{\text{benzeno}}\approx 0{,}673

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