Questão 3(2,0) : Uso de dados azeotrópicos para calcular parâmetros de um modelo de coeficiente de atividade. A 50{ }^{\circ} \mathrm{C}, uma mistura binária de 1,4-dioxano (a) e água (b) tem um azeótropo em x_{a}=0,554, pressão de saturação =0,156 bar e uma pressão de 0,223 bar. Use estes dados para calcular o valor do parâmetro A da equação de Margules de 1 parâmetro.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o parâmetro A do modelo de Margules de um parâmetro, usando dados do azeótropo. Os dados fornecidos são:
  • Composição líquida do azeótropo: x_a=0,554.
  • Pressão de saturação do componente relevante: P_a^{\mathrm{sat}}=0,156\\ \text{bar}. (Este valor é o da pressão de vapor do componente a puro a 50{ }^{\circ}\mathrm{C}; foi dado no enunciado.)
  • Pressão total do azeótropo: P=0,223\\ \text{bar}. (Pressão do sistema no azeótropo; foi dada no enunciado.)
O que se pede:
  • Calcular o valor do parâmetro A da equação de Margules de um parâmetro.

Passo 2

Relembrando a condição de equilíbrio líquido-vapor com coeficientes de atividade: para cada componente i,
y_i\,P = x_i\,\gamma_i\,P_i^{\mathrm{sat}},
onde:
  • y_i é a fração molar do componente i na fase vapor,
  • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida,
  • \gamma_i é o coeficiente de atividade do componente i na fase líquida,
  • P_i^{\mathrm{sat}} é a pressão de vapor do componente i puro àquela temperatura,
  • P é a pressão total do sistema.
Num azeótropo ideal de mistura binária ocorre que a composição do vapor é igual à composição do líquido: y_a=x_a e y_b=x_b. Utilizando isso na equação de equilíbrio para o componente a tem-se:
x_a\,P = x_a\,\gamma_a\,P_a^{\mathrm{sat}}.
Como x_a\neq0, isto implica
P = \gamma_a\,P_a^{\mathrm{sat}}.
Portanto, no azeótropo o coeficiente de atividade do componente a é
\gamma_a = \frac{P}{P_a^{\mathrm{sat}}}.

Passo 3

Apresentando a forma de Margules de um parâmetro (modelo de dois-sufixos com um parâmetro): a energia de excesso adimensional é
\frac{G^{E}}{RT}=A\,x_a\,x_b,
onde x_b=1-x_a. As expressões dos coeficientes de atividade derivadas dessa expressão são:
\ln\gamma_a = A\,(x_b)^2 \qquad\text{e}\qquad \ln\gamma_b = A\,(x_a)^2.
Aqui A é adimensional. Vamos usar a expressão para \ln\gamma_a:
\ln\gamma_a = A\,(1-x_a)^2.
Assim, A pode ser obtido por:
A = \frac{\ln\gamma_a}{(1-x_a)^2}.

Passo 4

Calcular \gamma_a a partir dos dados do azeótropo usando \gamma_a = \dfrac{P}{P_a^{\mathrm{sat}}}. Substituindo os números dados:
\gamma_a = \frac{0,223}{0,156} = 1,429487\ldots
Agora calcular \ln\gamma_a:
\ln\gamma_a = \ln\!\left(1,429487\ldots\right)=0,3566749\ldots
Calcular (1-x_a)^2:
1-x_a = 1-0,554 = 0,446,
(1-x_a)^2 = (0,446)^2 = 0,198916.

Passo 5

Substituir na fórmula para A:
A = \frac{\ln\gamma_a}{(1-x_a)^2} = \frac{0,3566749\ldots}{0,198916} = 1,79225\ldots
Arredondando para três algarismos significativos temos A\approx1,79. Mantendo um pouco mais de precisão, A\approx1,792.

Resposta

A\approx1,792

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