Questão 3(2,5) : Determinar a fugacidade f e o coeficiente de fugacidade \varphi do etano
a 50 bar e 25 o C 25 o C, utilizando correlações generalizadas estados correspondentes. Dados do composto (etano, C 2 H 6 C 2 H 6 ): Massa molar M=30,069 \mathrm{gmol}{ }^{-1} Temperatura critica T c=305,4 \mathrm{~K}, T c=305,4 \mathrm{~K} Pressão crítica P \mathrm{c}=48,74 bar Fator acêntrico \omega=0,099.

Passo 1

O enunciado pede que, para o etano nas condições informadas, seja determinado:
  • a fugacidade f (unidade: bar);
  • o coeficiente de fugacidade \varphi (adimensional),
nas condições: P=50\\ \text{bar} e T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \text{K}.
Dados do etano fornecidos:
  • massa molar M=30{,}069\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} (não será necessária para este cálculo);
  • temperatura crítica T_c=305{,}4\\ \text{K};
  • pressão crítica P_c=48{,}74\\ \text{bar};
  • fator acêntrico \omega=0{,}099.
O que se pede em termos práticos: calcular \varphi tal que f=\varphi P (fugacidade e coeficiente de fugacidade do gás real).

Passo 2

Escolha do método e justificativa curta (sem resolver ainda).
  • O enunciado sugere “correlações generalizadas — estados correspondentes”. Essas correlações (por exemplo Lee–Kesler) normalmente requerem tabelas/curvas generalizadas ou uma implementação já tabulada. Como aqui não dispomos dessas tabelas gráficas no enunciado, vou usar uma abordagem prática e amplamente aceita para obter \varphi e f: o uso de uma equação de estado cúbica — a equação de Peng–Robinson (PR) — que é compatível com resultados de métodos de estados correspondentes em muitas situações e permite cálculo direto de \varphi.
  • Vou explicar do zero a PR, mostrar como obter os parâmetros, resolver a equação cúbica para o fator de compressibilidade Z, e então calcular \ln\varphi pela expressão analítica da PR. Assim você aprende a aplicação passo‑a‑passo e consegue reproduzir na prova se não houver as curvas de estado correspondente à mão.

Passo 3

Apresentação da equação de Peng–Robinson (PR) e das fórmulas necessárias — aula rápida e amigável.
  • A equação de Peng–Robinson em forma de pressão específica é:
P=\frac{RT}{V-b}-\frac{a(T)}{V(V+b)+b(V-b)}.
Aqui:
  • P é a pressão (bar),
  • T é a temperatura (K),
  • V é o volume molar (L·mol^{-1}),
  • R é a constante dos gases (vou usar R=0{,}08314472\\ \text{L·bar·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}),
  • a(T) e b são parâmetros que dependem de T_c,P_c,\omega.
  • Para trabalhar numericamente é comum transformar a equação num polinômio cúbico em Z=\dfrac{P V}{R T}. Definimos as grandezas adimensionais:
A=\frac{a(T)\,P}{R^2 T^2},\qquad B=\frac{b\,P}{R T}.
A equação cúbica em Z para PR é:
Z^3 - (1-B)Z^2 + \left(A - 3B^2 -2B\right)Z - \left(AB - B^2 - B^3\right)=0.
  • As expressões para a(T) e b na PR são:
a(T)=0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c}\,\alpha(T),\qquad b=0{,}07780\frac{R T_c}{P_c},
com
\alpha(T)=\left[1+\kappa\left(1-\sqrt{T_r}\right)\right]^2,\qquad T_r=\frac{T}{T_c},
e
\kappa=0{,}37464+1{,}54226\,\omega-0{,}26992\,\omega^2.
  • Uma vez que se obtém o valor real de Z (a raiz física apropriada), o coeficiente de fugacidade \varphi pela PR é dado por:
\ln\varphi = Z - 1 - \ln\left(Z - B\right) - \frac{A}{2\sqrt{2}\,B}\, \ln\left(\frac{Z + (1+\sqrt{2})B}{Z + (1-\sqrt{2})B}\right).
Essa fórmula vem da integração termodinâmica do trabalho de compressão e é a forma padrão para PR.

Passo 4

Calcular parâmetros numéricos passo a passo (transformando dados em a,b,A,B).
  • Primeiro calcule as quantidades reduzidas:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{298{,}15}{305{,}4}=0{,}9763\\ \text{(adim.)}.
  • Calcule \kappa:
\kappa=0{,}37464+1{,}54226\cdot 0{,}099-0{,}26992\cdot(0{,}099)^2 =0{,}52468\\ (\text{aprox.}).
  • Calcule \alpha(T):
\sqrt{T_r}=\sqrt{0{,}9763}=0{,}9881,
\alpha=\bigl[1+\kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr]^2 =\bigl[1+0{,}52468(1-0{,}9881)\bigr]^2 =\bigl[1+0{,}52468\cdot 0{,}0119\bigr]^2 \approx (1{,}0062477)^2 \approx 1{,}01254.
  • Agora a(T) e b (usar R=0{,}08314472\\ \text{L·bar·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}):
a(T)=0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c}\,\alpha
Calcule R^2 T_c^2: com R^2\approx 0{,}006915 e T_c^2=305{,}4^2=93\,269{,}16,
R^2 T_c^2\approx 644{,}956.
Portanto
0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c}\approx 0{,}45724\frac{644{,}956}{48{,}74}\approx 6{,}051.
Multiplicando por \alpha:
a(T)\approx 6{,}051\cdot 1{,}01254 \approx 6{,}127\\ \text{L}^2\text{·bar·mol}^{-2}.
  • Para b:
b=0{,}07780\frac{R T_c}{P_c}.
Calcule R T_c\approx 0{,}08314472\cdot 305{,}4\approx 25{,}3924\\ \text{L·bar·mol}^{-1}.
b\approx 0{,}07780\frac{25{,}3924}{48{,}74}\approx 0{,}04056\\ \text{L·mol}^{-1}.

Passo 5

Calcular A e B (variáveis adimensionais para o polinômio cúbico).
  • Lembrete das fórmulas:
A=\frac{a(T)P}{R^2 T^2},\qquad B=\frac{bP}{R T}.
  • Calcule R^2 T^2. Com T=298{,}15\\ \text{K} obtemos R^2 T^2\approx 614{,}698.
  • Então
A=\frac{6{,}127\cdot 50}{614{,}698}\approx 0{,}4986.
  • E
B=\frac{0{,}04056\cdot 50}{0{,}08314472\cdot 298{,}15} =\frac{2{,}028}{24{,}7896}\approx 0{,}08181.

Passo 6

Resolver a cúbica para Z e escolher a raiz física.
  • A cúbica em Z é:
Z^3 - (1-B)Z^2 + \bigl(A - 3B^2 -2B\bigr)Z - \bigl(AB - B^2 - B^3\bigr)=0.
  • Inserindo os números:
1-B=0{,}91819,
A-3B^2-2B\approx 0{,}31490,
AB - B^2 - B^3\approx 0{,}033546.
Então:
Z^3 - 0{,}91819 Z^2 + 0{,}31490 Z - 0{,}033546 = 0.
  • Resolver numericamente (método de tentativa/iteração ou fórmula cúbica). Testes numéricos rápidos mostram que existe uma única raiz real significativa, em torno de
Z\approx 0{,}1905.
(Explicação curta: avaliações da cúbica em valores próximos mostram mudança de sinal entre Z\approx 0{,}19 e Z\approx 0{,}191; a raiz física para gás supercrítico/condição dada é essa única raiz real.)

Passo 7

Calcular \ln\varphi usando a expressão de PR e os valores já obtidos.
  • Relembre a fórmula:
\ln\varphi = Z - 1 - \ln\left(Z - B\right) - \frac{A}{2\sqrt{2}\,B}\, \ln\left(\frac{Z + (1+\sqrt{2})B}{Z + (1-\sqrt{2})B}\right).
  • Insira os números passo a passo:
    • Z-1=0{,}1905-1=-0{,}8095.
    • Z-B=0{,}1905-0{,}08181=0{,}10869, então \ln(Z-B)=\ln(0{,}10869)\approx -2{,}2193.
    • Primeiro conjunto: Z-1-\ln(Z-B)=-0{,}8095 - (-2{,}2193)=1{,}4098.
    • Agora o fator na frente do log grande:
\frac{A}{2\sqrt{2}\,B}=\frac{0{,}4986}{2\cdot 1{,}41421356\cdot 0{,}08181}\approx 2{,}155.
  • Calcule os termos dentro do log:
Z+(1+\sqrt{2})B=0{,}1905+2{,}41421356\cdot 0{,}08181\approx 0{,}3881,
Z+(1-\sqrt{2})B=0{,}1905-0{,}41421356\cdot 0{,}08181\approx 0{,}15661,
\text{razão}=\frac{0{,}3881}{0{,}15661}\approx 2{,}478,\qquad \ln(\text{razão})\approx 0{,}9097.ãã
  • Termo inteiro subtraído:
\frac{A}{2\sqrt{2}\,B}\cdot \ln(\text{razão}) \approx 2{,}155\cdot 0{,}9097 \approx 1{,}962.ã
  • Portanto
\ln\varphi \approx 1{,}4098 - 1{,}962 = -0{,}5522.
  • Então o coeficiente de fugacidade:
\varphi=\exp(\ln\varphi)=\exp(-0{,}5522)\approx 0{,}576.

Passo 8

Obter a fugacidade f e comentar sobre a magnitude.
  • Fugacidade:
f=\varphi\,P = 0{,}576\cdot 50\\ \text{bar}\approx 28{,}8\\ \text{bar}.
  • Interpretação curta e encorajadora: \varphi<1 significa que o etano, nessas condições (pressão um pouco acima de P_c e temperatura ligeiramente abaixo de T_c), apresenta comportamento com fugacidade menor que a pressão — consequência das forças intermoleculares e da proximidade da região crítica. Está tudo coerente numericamente.

Resposta

\varphi \approx 0{,}576
f \approx 28{,}8\\ \text{bar}

Exercícios relacionados