Questão 1 (Baseado em Rice University - “Bubble and Dew Point Calculations”):
Considere a mistura binária ideal benzeno/tolueno com fração molar líquida x benzeno =0,45 \times benzeno =0,45 a pressão constante de 0,95 bar. Dados de Antoine.
b) Determine a composição do líquido para no ponto de orvalho considerando y_{\text {benzeno }}=0,45 e \mathrm{T}_{\text {orvalho }} \approx 98,0^{\circ} \mathrm{C} (1 ponto).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (pego todos os dados do enunciado):
  • Pressão total da mistura: \,P=0,95\\ \text{bar}.
  • Ponto de orvalho dado: \,T_{\text{orvalho}}\approx98,0^\circ\text{C}.
  • Composição do vapor no orvalho: \,y_{\text{benzeno}}=0,45. Logo \,y_{\text{tolueno}}=1-0,45=0,55.
  • Pede-se: determinar a composição do líquido no ponto de orvalho, ou seja \,x_{\text{benzeno}} e \,x_{\text{tolueno}}, usando os dados de Antoine (valores de Antoine abaixo).
Dados de Antoine usados (valores padrão da literatura, pressão em mmHg, temperatura em ^\circC):
  • Para o benzeno: \;A=6{,}90565,\;B=1211{,}033,\;C=220{,}790.
  • Para o tolueno: \;A=6{,}95464,\;B=1344{,}8,\;C=219{,}48.
Observação: os coeficientes de Antoine acima são para a fórmula \log_{10}\!(p^{\text{sat}}_{\text{(mmHg)}})=A-\dfrac{B}{T+C} com T em ^\circC. Converteremos p^{\text{sat}} de \text{mmHg} para \text{bar} usando 1\\ \text{mmHg}=0,00133322\\ \text{bar}.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Raoult (mistura ideal): a pressão parcial de cada componente na fase vapor é dada por \,p_i=x_i\,p_i^{\text{sat}}(T), onde:
    • \,p_i é a pressão parcial do componente i (na mesma unidade de p_i^{\text{sat}}),
    • \,x_i é a fração molar do componente i na fase líquida,
    • \,p_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor pura do componente i à temperatura T.
  • Relação vapor-líquido: a pressão parcial também pode ser escrita como \,p_i=y_i P, onde \,y_i é a fração molar do componente i na fase vapor e \,P é a pressão total.
  • Igualando as duas expressões: \,y_i P = x_i\,p_i^{\text{sat}}(T). Portanto, para cada componente: x_i=\frac{y_i\,P}{p_i^{\text{sat}}(T)}.
Isto nos permite calcular \,x_i diretamente se conhecermos \,y_i, P e \,p_i^{\text{sat}}(T).
  • Para calcular \,p_i^{\text{sat}}(T) usaremos a equação de Antoine indicada no Passo 1.

Passo 3

Calcular \,p_{\text{benzeno}}^{\text{sat}}(98{,}0^\circ\text{C}) via Antoine (todo passo a passo):
  • Primeiro aplicar Antoine em mmHg: \log_{10}\!\big(p^{\text{sat}}_{\text{benzeno}}(\text{mmHg})\big) =A_{\text{bz}}-\frac{B_{\text{bz}}}{T+C_{\text{bz}}} =6{,}90565-\frac{1211{,}033}{98{,}0+220{,}790}.
  • Calcular o denominador: 98{,}0+220{,}790=318{,}79.
  • Calcular a fração: \dfrac{1211{,}033}{318{,}79}\approx3{,}7989.
  • Então \log_{10}\!(p^{\text{sat}}_{\text{benzeno}})\approx6{,}90565-3{,}7989=3{,}1068.
  • Voltar do log: p^{\text{sat}}_{\text{benzeno}}(\text{mmHg})=10^{3{,}1068}\approx1278{,}6\\ \text{mmHg}.
  • Converter para bar: p^{\text{sat}}_{\text{benzeno}}(\text{bar})=1278{,}6\times0{,}00133322\approx1{,}7048\\ \text{bar}.
Portanto:
p^{\text{sat}}_{\text{benzeno}}(98{,}0^\circ\text{C})\approx1{,}7048\\ \text{bar}.

Passo 4

Calcular \,p_{\text{tolueno}}^{\text{sat}}(98{,}0^\circ\text{C}) via Antoine:
  • Aplicar Antoine: \log_{10}\!\big(p^{\text{sat}}_{\text{tolueno}}(\text{mmHg})\big) =6{,}95464-\frac{1344{,}8}{98{,}0+219{,}48}.
  • Denominador: 98{,}0+219{,}48=317{,}48.
  • Fração: \dfrac{1344{,}8}{317{,}48}\approx4{,}2361.
  • Logo \log_{10}\!(p^{\text{sat}}_{\text{tolueno}})\approx6{,}95464-4{,}2361=2{,}7185.
  • Voltar do log: p^{\text{sat}}_{\text{tolueno}}(\text{mmHg})=10^{2{,}7185}\approx523{,}6\\ \text{mmHg}.
  • Converter para bar: p^{\text{sat}}_{\text{tolueno}}(\text{bar})=523{,}6\times0{,}00133322\approx0{,}6981\\ \text{bar}.
Portanto:
p^{\text{sat}}_{\text{tolueno}}(98{,}0^\circ\text{C})\approx0{,}6981\\ \text{bar}.

Passo 5

Calcular as frações molares líquidas usando x_i=\dfrac{y_i\,P}{p_i^{\text{sat}}(T)}.
Para o benzeno:
x_{\text{benzeno}} =\frac{y_{\text{benzeno}}\,P}{p^{\text{sat}}_{\text{benzeno}}} =\frac{0{,}45\times0{,}95}{1{,}7048} =\frac{0{,}4275}{1{,}7048}\approx0{,}2508.
Para o tolueno:
x_{\text{tolueno}} =\frac{y_{\text{tolueno}}\,P}{p^{\text{sat}}_{\text{tolueno}}} =\frac{0{,}55\times0{,}95}{0{,}6981} =\frac{0{,}5225}{0{,}6981}\approx0{,}7489.

Passo 6

Verificação e interpretação:
  • Soma das frações líquidas: x_{\text{benzeno}}+x_{\text{tolueno}}\approx0{,}2508+0{,}7489=0{,}9997\approx1. A pequena diferença vem de arredondamentos; os valores estão consistentes.
  • Conclusão: na condição dada (vapor com \,y_{\text{benzeno}}=0,45 a \,T\approx98{,}0^\circ\text{C} e \,P=0,95\\ \text{bar}) a composição da fase líquida no orvalho é aproximadamente \,x_{\text{benzeno}}\approx0{,}2508 e \,x_{\text{tolueno}}\approx0{,}7489.

Resposta

x_{\text{benzeno}}\approx0{,}2508
x_{\text{tolueno}}\approx0{,}7489

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