Questão:
3.1 Calcular o trabalho realizado por I mol de um gás durante uma expansäo isotèrmiea e irreversivel de um volume inicial
até um volume final
quando a equação de estado for:
onde b é uma constante positiva.
3.2 Se o gas fosse ideal, o mesmo processo produziria mais ou menos trabalho?
3.1 Calcular o trabalho realizado por I mol de um gás durante uma expansäo isotèrmiea e irreversivel de um volume inicial
3.2 Se o gas fosse ideal, o mesmo processo produziria mais ou menos trabalho?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o trabalho realizado por 1 mol de um gás durante uma expansão isotérmica e irreversível de um volume inicial
até um volume final , quando a equação de estado é
onde
é constante e
é a temperatura (isotérmica).
- Dizer se, fazendo o mesmo processo com um gás ideal (isto é, tomando
), o trabalho seria maior ou menor.
Informações dadas que vamos usar:
- Número de mols
(portanto a constante de estado aparece como ). - Processo isotérmico (temperatura
constante). - Processo irreversível (logo a pressão externa que realiza o trabalho sobre o gás,
, pode diferir da pressão interna do gás). - Equação de estado do gás real:
.
Obs.: para um processo irreversível é necessário conhecer a pressão externa
contra a qual o gás expande. Como o enunciado não dá essa pressão explicitamente, vou adotar o modelo usual em exercícios desse tipo: a expansão irreversível é feita contra uma pressão externa constante que, no final do processo, coincide com a pressão de equilíbrio do gás no volume final
. Ou seja,
Este é um modelo padrão de expansão irreversível “rápida” até o novo equilíbrio; esta hipótese será usada para calcular o trabalho.
Passo 2
Conceito físico e fórmula básica do trabalho:
- O trabalho realizado pelo gás ao expandir contra uma pressão externa qualquer é dado por
Aqui estamos tomando a convenção “trabalho realizado pelo gás” positivo (ou, se preferir a notação de termodinâmica onde
é trabalho realizado pelo sistema). Como
é constante segundo a hipótese que adotamos, a integral é imediata:
Explico por que usamos
: em processo irreversível o gás não está em equilíbrio mecânico infinitesimal com a vizinhança em todos os instantes, então a força que realmente realiza trabalho é a força exercida pelo meio externo. Por isso aparece
e não a pressão interna
dentro da integral.
Passo 3
Calcular
a partir da equação de estado (pegando o valor no volume final
):
Substituindo na expressão do trabalho para pressão externa constante:
Essa é a expressão do trabalho realizado pelo gás durante a expansão irreversível sob a hipótese indicada.
Passo 4
Dar uma aula curta sobre o caso reversível (útil para comparação e entendimento):
- Se o processo fosse reversível isotérmico, a pressão do gás se ajustaria infinitesimalmente e o trabalho seria
- Essa integral é imediata (substituição
):
Observação física: o trabalho reversível é o máximo trabalho que se pode extrair num processo isotérmico entre os mesmos estados; qualquer processo irreversível rende menos trabalho.
Passo 5
Comparação com o gás ideal e conclusão para a parte 3.2:
- Para o gás ideal toma-se
. Aplicando a mesma hipótese de pressão externa constante igual à pressão final do gás ideal, obtemos para o caso ideal (irreversível, mesma hipótese)
- Compare
e . Subtraindo:
Como
,
,
e
, o lado direito é positivo. Portanto
Interpretação física simples e intuitiva: o termo
reduz o volume disponível efetivo (
), o que aumenta a pressão do gás para um mesmo
; assim, ao final a pressão externa assumida é maior e o gás realiza mais trabalho ao expandir até
do que faria se fosse ideal.
Resposta
Se o gás fosse ideal (
), o trabalho seria
portanto, com o gás ideal o processo produziria menos trabalho (isto é,
para
).