Questão:
3.1 Calcular o trabalho realizado por I mol de um gás durante uma expansäo isotèrmiea e irreversivel de um volume inicial V_{1} até um volume final V_{2} quando a equação de estado for:
P(V - b)=R T
onde b é uma constante positiva.
3.2 Se o gas fosse ideal, o mesmo processo produziria mais ou menos trabalho?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o trabalho realizado por 1 mol de um gás durante uma expansão isotérmica e irreversível de um volume inicial V_{1} até um volume final V_{2}, quando a equação de estado é
P(V-b)=R T,
onde b>0 é constante e T é a temperatura (isotérmica).
  • Dizer se, fazendo o mesmo processo com um gás ideal (isto é, tomando b=0), o trabalho seria maior ou menor.
Informações dadas que vamos usar:
  • Número de mols n=1 (portanto a constante de estado aparece como R T).
  • Processo isotérmico (temperatura T constante).
  • Processo irreversível (logo a pressão externa que realiza o trabalho sobre o gás, P_{\text{ext}}, pode diferir da pressão interna do gás).
  • Equação de estado do gás real: P=\dfrac{R T}{V-b}.
Obs.: para um processo irreversível é necessário conhecer a pressão externa P_{\text{ext}} contra a qual o gás expande. Como o enunciado não dá essa pressão explicitamente, vou adotar o modelo usual em exercícios desse tipo: a expansão irreversível é feita contra uma pressão externa constante que, no final do processo, coincide com a pressão de equilíbrio do gás no volume final V_2. Ou seja,
P_{\text{ext}}=P_2=\frac{R T}{V_2-b}.
Este é um modelo padrão de expansão irreversível “rápida” até o novo equilíbrio; esta hipótese será usada para calcular o trabalho.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica do trabalho:
  • O trabalho realizado pelo gás ao expandir contra uma pressão externa qualquer é dado por
W=\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}}\,dV.
Aqui estamos tomando a convenção “trabalho realizado pelo gás” positivo (ou, se preferir a notação de termodinâmica onde W é trabalho realizado pelo sistema). Como P_{\text{ext}} é constante segundo a hipótese que adotamos, a integral é imediata:
W=P_{\text{ext}}\,(V_2-V_1).
Explico por que usamos P_{\text{ext}}: em processo irreversível o gás não está em equilíbrio mecânico infinitesimal com a vizinhança em todos os instantes, então a força que realmente realiza trabalho é a força exercida pelo meio externo. Por isso aparece P_{\text{ext}} e não a pressão interna P_{\text{gas}}(V) dentro da integral.

Passo 3

Calcular P_2 a partir da equação de estado (pegando o valor no volume final V_2):
P_2=\frac{R T}{V_2-b}.
Substituindo na expressão do trabalho para pressão externa constante:
W=P_2\,(V_2-V_1)=\frac{R T}{V_2-b}\,(V_2-V_1).
Essa é a expressão do trabalho realizado pelo gás durante a expansão irreversível sob a hipótese indicada.

Passo 4

Dar uma aula curta sobre o caso reversível (útil para comparação e entendimento):
  • Se o processo fosse reversível isotérmico, a pressão do gás se ajustaria infinitesimalmente e o trabalho seria
W_{\text{rev}}=\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{gas}}(V)\,dV=\int_{V_1}^{V_2}\frac{R T}{V-b}\,dV.
  • Essa integral é imediata (substituição u=V-b):
W_{\text{rev}}=R T\ln\!\left(\frac{V_2-b}{V_1-b}\right).
Observação física: o trabalho reversível é o máximo trabalho que se pode extrair num processo isotérmico entre os mesmos estados; qualquer processo irreversível rende menos trabalho.

Passo 5

Comparação com o gás ideal e conclusão para a parte 3.2:
  • Para o gás ideal toma-se b=0. Aplicando a mesma hipótese de pressão externa constante igual à pressão final do gás ideal, obtemos para o caso ideal (irreversível, mesma hipótese)
W_{\text{irr, ideal}}=\frac{R T}{V_2}(V_2-V_1).
  • Compare W_{\text{irr, real}} e W_{\text{irr, ideal}}. Subtraindo:
W_{\text{irr, real}}-W_{\text{irr, ideal}} =R T (V_2-V_1)\!\left(\frac{1}{V_2-b}-\frac{1}{V_2}\right) =R T (V_2-V_1)\frac{b}{V_2(V_2-b)}.
Como R>0, T>0, V_2>V_1 e b>0, o lado direito é positivo. Portanto
W_{\text{irr, real}}>W_{\text{irr, ideal}}.
Interpretação física simples e intuitiva: o termo b reduz o volume disponível efetivo ( V-b), o que aumenta a pressão do gás para um mesmo V; assim, ao final a pressão externa assumida é maior e o gás realiza mais trabalho ao expandir até V_2 do que faria se fosse ideal.

Resposta

W=\frac{R T}{V_2-b}\,(V_2-V_1)
Se o gás fosse ideal ( b=0), o trabalho seria
W_{\text{ideal}}=\frac{R T}{V_2}\,(V_2-V_1),
portanto, com o gás ideal o processo produziria menos trabalho (isto é, W_{\text{ideal}}<W para b>0).

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