Questão:
Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
Informações e hipóteses que vamos usar (pressupostos habituais neste tipo de demonstração):
-
é a energia interna de um gás ideal que tem uma quantidade fixa de matéria (ou seja, número de mols fixo). -
é a razão entre capacidades térmicas à pressão e a volume constantes, isto é . Aqui e são as capacidades molares (por mol) do gás à volume e pressão constantes, respectivamente. Pressuponho constante durante o processo. -
é a constante dos gases ideais e vale a relação de gás ideal
- Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura, e vale por mol
Com essas hipóteses podemos começar a demonstração.
Passo 2
Lembremos da relação entre
,
e
. Pela definição de calor específico molar,
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Pelo que definimos,
. Substituindo,
Isolando
e depois
obtemos as identidades úteis:
Expliquei cada variável:
é a razão de capacidades,
é a constante dos gases ideais e
é a capacidade molar a volume constante.
Passo 3
Agora escrevemos
em função de
. Partindo de
e usando a lei dos gases ideais
podemos isolar
em termos de
:
Substituindo em
,
Usando a identidade obtida no Passo 2,
, segue
Esta é uma igualdade entre funçõess (para o gás ideal e
constante): a energia interna é proporcional ao produto
.
Passo 4
A partir de
podemos obter a variação de
quando o sistema passa de um estado para outro. Como o fator
é constante (hipótese de
constante e
fixo), basta diferenciar ou tomar a variação finita:
Alternativa diferencial (mesma ideia, às vezes mais direta): começar por
logo
e integrando (ou trocando
por
para variações finitas entre dois estados) chegamos à mesma expressão.
Passo 5
Comentário final e condições de validade (importante para a prova): a igualdade
é válida sob as hipóteses usadas: gás ideal, número de mols
fixo, e
constante (capacidades independentes da temperatura no intervalo considerado). Se alguma dessas condições falhar (por exemplo, gás real ou
variável), a relação precisa ser revista.