Questão:
Mostre que:
\Delta U=\frac{1}{y-1} \Delta(P V)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\Delta U=\frac{1}{y-1}\,\Delta(PV).
Informações e hipóteses que vamos usar (pressupostos habituais neste tipo de demonstração):
  • U é a energia interna de um gás ideal que tem uma quantidade fixa de matéria (ou seja, número de mols n fixo).
  • y é a razão entre capacidades térmicas à pressão e a volume constantes, isto é y=\dfrac{C_P}{C_V}. Aqui C_V e C_P são as capacidades molares (por mol) do gás à volume e pressão constantes, respectivamente. Pressuponho y constante durante o processo.
  • R é a constante dos gases ideais e vale a relação de gás ideal
PV=nRT.
  • Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura, e vale por mol
U=n\,C_V\,T.
Com essas hipóteses podemos começar a demonstração.

Passo 2

Lembremos da relação entre C_P, C_V e R. Pela definição de calor específico molar,
C_P=C_V+R.
Dividindo ambos os lados por C_V obtemos
\frac{C_P}{C_V}=1+\frac{R}{C_V}.
Pelo que definimos, \dfrac{C_P}{C_V}=y. Substituindo,
y=1+\frac{R}{C_V}.
Isolando \dfrac{R}{C_V} e depois \dfrac{C_V}{R} obtemos as identidades úteis:
\frac{R}{C_V}=y-1, \qquad\text{logo}\qquad \frac{C_V}{R}=\frac{1}{y-1}.
Expliquei cada variável: y é a razão de capacidades, R é a constante dos gases ideais e C_V é a capacidade molar a volume constante.

Passo 3

Agora escrevemos U em função de PV. Partindo de
U=n\,C_V\,T
e usando a lei dos gases ideais
PV=nRT,
podemos isolar nT em termos de PV:
nT=\frac{PV}{R}.
Substituindo em U,
U=n\,C_V\,T=C_V\left(nT\right)=C_V\left(\frac{PV}{R}\right)=\frac{C_V}{R}\,PV.
Usando a identidade obtida no Passo 2, \dfrac{C_V}{R}=\dfrac{1}{y-1}, segue
U=\frac{1}{y-1}\,PV.
Esta é uma igualdade entre funçõess (para o gás ideal e y constante): a energia interna é proporcional ao produto PV.

Passo 4

A partir de U=\dfrac{1}{y-1}\,PV podemos obter a variação de U quando o sistema passa de um estado para outro. Como o fator \dfrac{1}{y-1} é constante (hipótese de y constante e n fixo), basta diferenciar ou tomar a variação finita:
\Delta U=\frac{1}{y-1}\,\Delta(PV).
Alternativa diferencial (mesma ideia, às vezes mais direta): começar por
dU=nC_V\,dT, \qquad d(PV)=nR\,dT,
logo
dU=\frac{C_V}{R}\,d(PV)=\frac{1}{y-1}\,d(PV),
e integrando (ou trocando d por \Delta para variações finitas entre dois estados) chegamos à mesma expressão.

Passo 5

Comentário final e condições de validade (importante para a prova): a igualdade
\Delta U=\frac{1}{y-1}\,\Delta(PV)
é válida sob as hipóteses usadas: gás ideal, número de mols n fixo, e y=\dfrac{C_P}{C_V} constante (capacidades independentes da temperatura no intervalo considerado). Se alguma dessas condições falhar (por exemplo, gás real ou C_V variável), a relação precisa ser revista.

Resposta

\Delta U=\frac{1}{y-1}\,\Delta(PV)

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