Questão:
Para o processo abaixo a pressão constante
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5}(\mathrm{~g})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) \longrightarrow \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g})+h_{2} \text { (liquido) } \Delta \mathrm{H}_{R}=3.00 \mathrm{Kcal} / \mathrm{mol}
Encontrar o W (trabalho) e \Delta U realizado nesse processo,

Passo 1

O enunciado nos dá a reação e um valor de entalpia de reação à pressão constante:
\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{5}(\mathrm{g})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{g}) \longrightarrow \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{g})+\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}(\ell)
com
\Delta H_{R}=3{,}00\\ \text{kcal/mol}
O que o problema pede:
  • Encontrar o trabalho W realizado nesse processo (à pressão constante).
  • Encontrar a variação da energia interna \Delta U desse processo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reação é feita à pressão constante.
  • Os estados físicos informados: \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{5}(\mathrm{g}) (gás), \mathrm{O}_{2}(\mathrm{g}) (gás), \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{g}) (gás), \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}(\ell) (líquido).
  • Não foi fornecida temperatura numérica no enunciado. Para obter um valor numérico para W e \Delta U é necessária uma temperatura; então mais adiante vou apresentar a forma geral (em função de T) e também calcular um valor numérico assumindo a temperatura padrão \,T=298\\ \text{K} (25 °C), que é a convenção habitual quando nada é dito.

Passo 2

Explicar a fórmula do trabalho à pressão constante e a relação com o número de mols gasosos.
Definição de trabalho de expansão/compressão (convenção química: trabalho realizado pelo sistema):
W = -P_{\text{ext}}\,\Delta V,
onde:
  • W é o trabalho (em energia por mol, se estamos considerando “por mol de reação”),
  • P_{\text{ext}} é a pressão externa (aqui igual à pressão do processo, pressão constante),
  • \Delta V é a variação de volume do sistema ( \Delta V=V_{\text{prod}}-V_{\text{reag}}).
Para gases ideais, a variação de volume relacionada à variação do número de mols gasosos é dada por:
\Delta V = \frac{\Delta n_{\text{gas}}\,R\,T}{P},
onde:
  • \Delta n_{\text{gas}} é a variação do número de mols gasosos (produtos menos reagentes),
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura absoluta.
Substituindo em W:
W = -P\left(\frac{\Delta n_{\text{gas}}\,R\,T}{P}\right) = -\Delta n_{\text{gas}}\,R\,T.
Portanto, em palavras: o trabalho de pressão-volume, por mol de reação, vale
W = -\Delta n_{\text{gas}}\,R\,T.
Observação sobre o sinal: se \Delta n_{\text{gas}}>0 (mais mols gasosos nos produtos) então W<0 (o sistema realiza trabalho sobre o ambiente, expansão). Se \Delta n_{\text{gas}}<0 então W>0 (volume diminui: trabalho é realizado sobre o sistema).

Passo 3

Calcular \Delta n_{\text{gas}} a partir da estequiometria dada (peguei os estados físicos da própria equação do enunciado).
  • Mols gasosos nos reagentes: \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{5}(\mathrm{g}) é 1 mol gasoso e \mathrm{O}_{2}(\mathrm{g}) é 1 mol gasoso, total 1+1=2 mols gasosos.
  • Mols gasosos nos produtos: \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{g}) é 1 mol gasoso; \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}(\ell) é líquido, não conta no número de mols gasosos. Total =1 mol gasoso.
Logo:
\Delta n_{\text{gas}} = n_{\text{prod, gas}} - n_{\text{reag, gas}} = 1 - 2 = -1.
Interpretação física rápida: o número de mols gasosos diminui em 1 mol por mol de reação, portanto o volume do sistema tende a diminuir (compressão), de modo que espera-se W>0 (trabalho realizado sobre o sistema).

Passo 4

Aplicar a expressão do passo 2 com \Delta n_{\text{gas}}=-1:
A expressão geral deu
W = -\Delta n_{\text{gas}}\,R\,T.
Substituindo \Delta n_{\text{gas}}=-1:
W = -(-1)\,R\,T = R\,T.
Ou seja, simbolicamente:
W = R\,T \quad\text{(por mol de reação)}.çã
Agora passar para valor numérico. Converter R para unidades de \text{kcal}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}:
R = 8{,}314\\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = \frac{8{,}314}{4184}\\ \text{kcal}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\approx 0{,}001987\\ \text{kcal}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
Assumindo \,T=298\\ \text{K} (convenção padrão), temos:
W = R\,T \approx 0{,}001987\cdot 298\\ \text{kcal/mol} \approx 0{,}5929\\ \text{kcal/mol}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais como o enunciado deu para \Delta H):
W \approx 0{,}59\\ \text{kcal/mol}.
Lembrete de interpretação: W>0 indica trabalho realizado sobre o sistema (compressão), compatível com a diminuição do número de mols gasosos.

Passo 5

Relacionar \Delta U e \Delta H e calcular \Delta U.
A primeira lei da termodinâmica (convenção química) escreve:
\Delta U = Q + W,
onde Q é o calor trocado pelo sistema. À pressão constante, o calor trocado é igual à variação de entalpia:
Q_{p} = \Delta H.
Logo:
\Delta U = \Delta H + W.
Como encontramos W = -\Delta n_{\text{gas}}\,R\,T, outra forma frequentemente usada é
\Delta U = \Delta H - \Delta n_{\text{gas}}\,R\,T.
Com \Delta n_{\text{gas}}=-1 isso vira \Delta U=\Delta H + R\,T, mesmo que acabamos de obter.
Substituindo numericamente ( \Delta H=3{,}00\\ \text{kcal/mol} e W\approx0{,}5929\\ \text{kcal/mol}):
\Delta U = 3{,}00 + 0{,}5929 \approx 3{,}5929\\ \text{kcal/mol}.
Arredondando:
\Delta U \approx 3{,}59\\ \text{kcal/mol}.

Passo 6

Comentários finais e interpretação útil para a prova:
  • Fórmulas-chave a memorizar: \,W=-P\Delta V e, com gás ideal, \,W=-\Delta n_{\text{gas}}RT.
  • Relação entre \Delta U e \Delta H à pressão constante: \,\Delta U=\Delta H+W (ou \Delta U=\Delta H-\Delta n_{\text{gas}}RT).
  • Neste problema a diminuição no número de mols gasosos fez com que o sistema fosse comprimido pelo ambiente e, portanto, o trabalho fosse positivo (trabalho sobre o sistema), aumentando \Delta U além da entalpia fornecida.
  • Se a temperatura não for especificada numa questão de prova, é comum usar T=298\\ \text{K}; se for necessário deixar a resposta em forma simbólica, apresentar W=R\,T e \Delta U=\Delta H+R\,T.

Resposta

W \approx 0{,}59\\ \text{kcal/mol}
\Delta U \approx 3{,}59\\ \text{kcal/mol}

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