Questão 6 Cálculo de Tensões Principais no Plano
O estado de tensão plana em um maciço rochoso é representado pelos seguintes tensores ortogonais medidos em laboratório:
,
e tensão cisalhante
. Sem a utilização de matrizes, aplique as equações do Círculo de Mohr:
a) Calcule a Tensão Normal Média (
) e o Raio do círculo (
.
b) A partir de
e
, determine os valores nominais exatos de
e
(tensão mínima no plano bidimensional).
a) Calcule a Tensão Normal Média (
b) A partir de
Passo 1
Vamos deixar bem claro o que o enunciado nos pede e quais dados temos (pego tudo do enunciado):
- Dados:
-
- Perguntas:
- (a) Calcular a Tensão Normal Média
e o Raio do círculo . - (b) A partir de
e , determinar os valores exatos de e (as tensões principais no plano bidimensional).
- (a) Calcular a Tensão Normal Média
Passo 2
Explicação das fórmulas que vamos usar (a ideia por trás, sem matrizes):
- A Tensão Normal Média
é simplesmente a média aritmética das tensões normais nos eixos e . Isso desloca o centro do Círculo de Mohr no eixo das tensões normais. A fórmula é
Aqui
e
são as tensões normais nos eixos originais;
tem as mesmas unidades (MPa).
- O Raio
do círculo de Mohr combina a diferença entre as tensões normais e a componente de cisalhamento. A fórmula é
Dentro da raiz, o primeiro termo mede metade da diferença entre as normais (que desloca o círculo), e o segundo termo é a contribuição do cisalhamento.
- As tensões principais (normal máxima e mínima no plano) são os pontos do Círculo de Mohr mais à direita e à esquerda do centro, portanto
Essas fórmulas são diretas uma vez que
e
estão conhecidos.
Passo 3
Calcular
passo a passo:
Então a Tensão Normal Média é
.
Passo 4
Calcular o termo
e depois
:
Agora calcular o quadrado desse valor e o quadrado de
:
Somando:
Logo
Podemos simplificar o radical fatorando
, então
Se quiser uma aproximação numérica:
Passo 5
Agora aplicamos
e
. Como o enunciado pediu os valores nominais exatos, deixamos em forma exata:
Para ter também a noção numérica (útil na prova para conferir):
Resposta
(a)
(b)
(b)