Questão 6 Cálculo de Tensões Principais no Plano

O estado de tensão plana em um maciço rochoso é representado pelos seguintes tensores ortogonais medidos em laboratório: \sigma_{x}=80 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-50 \mathrm{MPa} e tensão cisalhante \tau_{x y}=25 \mathrm{MPa}. Sem a utilização de matrizes, aplique as equações do Círculo de Mohr:
a) Calcule a Tensão Normal Média ( c=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} ) e o Raio do círculo ( \left.R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2}}\right).
b) A partir de c e R, determine os valores nominais exatos de \sigma_{1} e \sigma_{2} (tensão mínima no plano bidimensional).

Passo 1

Vamos deixar bem claro o que o enunciado nos pede e quais dados temos (pego tudo do enunciado):
  • Dados:
    • \sigma_{x}=80\\ \mathrm{MPa}
    • \sigma_{y}=-50\\ \mathrm{MPa}
    • \tau_{xy}=25\\ \mathrm{MPa}
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a Tensão Normal Média c=\dfrac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} e o Raio do círculo \displaystyle R=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
    • (b) A partir de c e R, determinar os valores exatos de \sigma_{1} e \sigma_{2} (as tensões principais no plano bidimensional).

Passo 2

Explicação das fórmulas que vamos usar (a ideia por trás, sem matrizes):
  • A Tensão Normal Média c é simplesmente a média aritmética das tensões normais nos eixos x e y. Isso desloca o centro do Círculo de Mohr no eixo das tensões normais. A fórmula é
c=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}.
Aqui \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nos eixos originais; c tem as mesmas unidades (MPa).
  • O Raio R do círculo de Mohr combina a diferença entre as tensões normais e a componente de cisalhamento. A fórmula é
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Dentro da raiz, o primeiro termo mede metade da diferença entre as normais (que desloca o círculo), e o segundo termo é a contribuição do cisalhamento.
  • As tensões principais (normal máxima e mínima no plano) são os pontos do Círculo de Mohr mais à direita e à esquerda do centro, portanto
\sigma_{1}=c+R,\qquad \sigma_{2}=c-R.
Essas fórmulas são diretas uma vez que c e R estão conhecidos.

Passo 3

Calcular c passo a passo:
c=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}=\frac{80+(-50)}{2}=\frac{30}{2}=15\\ \mathrm{MPa}.
Então a Tensão Normal Média é c=15\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calcular o termo \dfrac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} e depois R:
\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}=\frac{80-(-50)}{2}=\frac{130}{2}=65\\ \mathrm{MPa}.
Agora calcular o quadrado desse valor e o quadrado de \tau_{xy}:
\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}=65^{2}=4225\\ (\mathrm{MPa}^2), \qquad \tau_{xy}^{2}=25^{2}=625\\ (\mathrm{MPa}^2).
Somando:
4225+625=4850\\ (\mathrm{MPa}^2).
Logo
R=\sqrt{4850}.
Podemos simplificar o radical fatorando 4850=25\cdot194, então
R=\sqrt{25\cdot194}=5\sqrt{194}\\ \mathrm{MPa}.
Se quiser uma aproximação numérica:
R\approx 5\sqrt{194}\approx 69,6419\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Agora aplicamos \sigma_{1}=c+R e \sigma_{2}=c-R. Como o enunciado pediu os valores nominais exatos, deixamos em forma exata:
\sigma_{1}=c+R=15+5\sqrt{194}\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_{2}=c-R=15-5\sqrt{194}\\ \mathrm{MPa}.
Para ter também a noção numérica (útil na prova para conferir):
\sigma_{1}\approx 15+69,6419=84,6419\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_{2}\approx 15-69,6419=-54,6419\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

(a) c=15\\ \mathrm{MPa},\\ R=5\sqrt{194}\\ \mathrm{MPa}\approx 69,6419\\ \mathrm{MPa}
(b) \sigma_{1}=15+5\sqrt{194}\\ \mathrm{MPa}\approx 84,6419\\ \mathrm{MPa}
\sigma_{2}=15-5\sqrt{194}\\ \mathrm{MPa}\approx -54,6419\\ \mathrm{MPa}