QUESTÃO 1. O calor molar a pressão constante ( C_{p} ) do ar atmosférico é 29,0 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} e do gás propano \left(\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8}\right) é 67,3 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}. Um mol de ambos os gases, ocupando, à pressão de 3,2.10^{5} \mathrm{~Pa}, um volume de 8 litros cada um, é expandido adiabaticamente ao volume de 20 litros.
(a) Calcular, para ambos os gases, o calor molar a volume constante ( C_{v} ) e o valor de \gamma (coeficiente adiabático).
(b) Qual é a temperatura inicial e final do processo de expansão para ambos os gases?
(c) Qual foi o trabalho e qual foi a variação da energia interna do sistema neste processo em ambos os casos?
(d) Representar o processo para cada gás no mesmo diagrama P versus V .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede (a) C_{v} e \gamma para cada gás, (b) temperaturas inicial e final, (c) trabalho e variação da energia interna, (d) representar o processo P versus V. Dados fornecidos (todos por mol de gás, com n=1):
C_{p,\text{ar}}=29,0\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},\qquad C_{p,\text{C_3H_8}}=67,3\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}
P_{1}=3,2\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad V_{1}=8\\ \text{L}=8\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},\qquad V_{2}=20\\ \text{L}=20\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}
Assumo gás ideal e processo adiabático reversível. Constante dos gases:
R=8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
Naturalmente o enunciado pede resultados para ambos os gases: ar e propano \mathrm{C_{3}H_{8}}.

Passo 2

Encontrar C_{v} a partir da relação entre capacidades molares (gás ideal):
C_{p}-C_{v}=R.
Explico: C_{p} é o calor molar à pressão constante, C_{v} é o calor molar a volume constante, e para gás ideal a diferença entre eles é exatamente a constante universal R. Agora calculo:
Para o ar:
C_{v,\text{ar}}=C_{p,\text{ar}}-R=29,0-8,314=20,686\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
Para o propano:
C_{v,\mathrm{C_3H_8}}=C_{p,\mathrm{C_3H_8}}-R=67,3-8,314=58,986\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.

Passo 3

Calcular o coeficiente adiabático \gamma, definido por
\gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}.
Interpretação: \gamma mede a “rigidez térmica” do gás — quanto maior \gamma, maior a queda de pressão/temperatura em uma expansão adiabática para a mesma razão de volumes.
Para o ar:
\gamma_{\text{ar}}=\frac{29,0}{20,686}=1,4019\approx1,40.
Para o propano:
\gamma_{\mathrm{C_3H_8}}=\frac{67,3}{58,986}=1,1410\approx1,14.

Passo 4

Determinar a temperatura inicial T_{1} usando a equação dos gases ideais:
P_{1}V_{1}=nRT_{1}.
Como n=1 mol,
T_{1}=\frac{P_{1}V_{1}}{R}=\frac{3,2\cdot10^{5}\cdot8\cdot10^{-3}}{8,314}.
Faço as contas:
P_{1}V_{1}=3,2\cdot10^{5}\cdot8\cdot10^{-3}=2560\\ \mathrm{J},
T_{1}=\frac{2560}{8,314}=307,99\\ \mathrm{K}\approx308\\ \mathrm{K}.
Observação: essa T_{1} vale para os dois gases, pois ambos têm P_{1}, V_{1} e n iguais.

Passo 5

Para uma transformação adiabática reversível em gás ideal vale a relação
T V^{\gamma-1}=\text{const},
ou seja
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}.
Explico: em adiabática sem troca de calor, a temperatura cai quando o volume aumenta; a potência é \gamma-1.
Calculo T_{2} para cada gás. A razão de volumes é
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{8}{20}=0,4.
Para o ar ( \gamma_{\text{ar}}=1,4019, \gamma-1=0,4019):
T_{2,\text{ar}}=T_{1}\cdot(0,4)^{0,4019}=307,99\cdot(0,4)^{0,4019}.
Avalio o fator:
(0,4)^{0,4019}=\mathrm{e}^{0,4019\ln(0,4)}\approx\mathrm{e}^{0,4019(-0,91629)}\approx\mathrm{e}^{-0,36815}\approx0,6922.
Logo
T_{2,\text{ar}}\approx307,99\cdot0,6922\approx213,1\\ \mathrm{K}\approx213\\ \mathrm{K}.
Para o propano ( \gamma_{\mathrm{C_3H_8}}=1,1410, \gamma-1=0,1410):
T_{2,\mathrm{C_3H_8}}=307,99\cdot(0,4)^{0,1410}.
Avalio o fator:
(0,4)^{0,1410}=\mathrm{e}^{0,1410\ln(0,4)}\approx\mathrm{e}^{0,1410(-0,91629)}\approx\mathrm{e}^{-0,12928}\approx0,8786.
Logo
T_{2,\mathrm{C_3H_8}}\approx307,99\cdot0,8786\approx270,3\\ \mathrm{K}\approx270\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular a variação da energia interna \Delta U. Para gás ideal monocomponente a energia interna depende apenas de T e
\Delta U = n C_{v}(T_{2}-T_{1}).
Explico: C_{v} é a variação de energia interna por unidade de temperatura por mol; com n=1 basta multiplicar por \Delta T.
Para o ar:
\Delta T_{\text{ar}}=T_{2}-T_{1}=213,1-307,99=-94,89\\ \mathrm{K},
\Delta U_{\text{ar}}=1\cdot20,686\cdot(-94,89)\approx-1963,7\\ \mathrm{J}\approx-1,96\cdot10^{3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: energia interna diminuiu (processo de expansão adiabática causa resfriamento).
Para o propano:
\Delta T_{\mathrm{C_3H_8}}=270,3-307,99=-37,69\\ \mathrm{K},
\Delta U_{\mathrm{C_3H_8}}=1\cdot58,986\cdot(-37,69)\approx-2222\\ \mathrm{J}\approx-2,22\cdot10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular o trabalho W realizado pelo gás no processo. Pela primeira lei, com Q=0 (adiabático),
\Delta U=Q-W\quad\Rightarrow\quad W=-\Delta U.
Aqui adoto a convenção usual: W positivo quando o gás realiza trabalho sobre o ambiente (expansão). Assim:
W=nC_{v}(T_{1}-T_{2}).
Para o ar:
W_{\text{ar}}=20,686\cdot(307,99-213,1)\approx+1963,7\\ \mathrm{J}\approx1,96\cdot10^{3}\\ \mathrm{J}.
Para o propano:
W_{\mathrm{C_3H_8}}=58,986\cdot(307,99-270,3)\approx+2222\\ \mathrm{J}\approx2,22\cdot10^{3}\\ \mathrm{J}.
Observação alternativa (consistência): também vale
W=\frac{P_{1}V_{1}-P_{2}V_{2}}{\gamma-1},
onde P_{2}=P_{1}\left(\dfrac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}. Usei a forma via \Delta U porque já tinha T's calculadas; as duas formas dão valores consistentes (diferenças pequenas por arredondamento).

Passo 8

Calcular P_{2} (útil para desenhar o gráfico P\times V):
P_{2}=P_{1}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}.
Para o ar:
P_{2,\text{ar}}=3,2\cdot10^{5}\cdot(0,4)^{1,4019}\approx3,2\cdot10^{5}\cdot0,2769\approx8,86\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Para o propano:
P_{2,\mathrm{C_3H_8}}=3,2\cdot10^{5}\cdot(0,4)^{1,1410}\approx3,2\cdot10^{5}\cdot0,3517\approx1,12\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 9

Como representar P versus V: desenhe no mesmo gráfico dois ramos adiabáticos dados por
PV^{\gamma_{\text{ar}}}=\text{const}\quad\text{e}\quad PV^{\gamma_{\mathrm{C_3H_8}}}=\text{const},
ambos passando pelo ponto inicial \big(V_{1}=8\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},\\ P_{1}=3,2\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}\big) e terminando em \big(20\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},\\ P_{2}\big) com os P_{2} calculados acima. Observações para o esboço:
  • O ramo do ar ( \gamma\approx1,40) é mais “inclinado” (mais íngreme) do que o do propano ( \gamma\approx1,14); em termos práticos, para a mesma expansão volumétrica a pressão final do ar fica menor do que a do propano (veja P_{2,\text{ar}}<P_{2,\mathrm{C_3H_8}}).
  • Desenhe o eixo V aumentando para a direita; as curvas decrescem com V e ficam abaixo da isoterma correspondente a T_{1}.

Resposta

(a) C_{v,\text{ar}}=20,686\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}\approx20,7\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},\\ \gamma_{\text{ar}}=1,4019\approx1,40.\n
C_{v,\mathrm{C_3H_8}}=58,986\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}\approx59,0\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},\\ \gamma_{\mathrm{C_3H_8}}=1,1410\approx1,14.
(b) Temperaturas:\n
Para ambos os gases T_{1}=307,99\\ \mathrm{K}\approx308\\ \mathrm{K}.\n
Para o ar T_{2,\text{ar}}\approx213,1\\ \mathrm{K}\approx213\\ \mathrm{K}.\n
Para o propano T_{2,\mathrm{C_3H_8}}\approx270,3\\ \mathrm{K}\approx270\\ \mathrm{K}.
(c) Trabalho e variação da energia interna (por mol, n=1):\n
Ar: W_{\text{ar}}\approx+1,96\cdot10^{3}\\ \mathrm{J},\\ \Delta U_{\text{ar}}\approx-1,96\cdot10^{3}\\ \mathrm{J}.\n
Propano: W_{\mathrm{C_3H_8}}\approx+2,22\cdot10^{3}\\ \mathrm{J},\\ \Delta U_{\mathrm{C_3H_8}}\approx-2,22\cdot10^{3}\\ \mathrm{J}.
(d) No diagrama P versus V: dois ramos adiabáticos PV^{\gamma}= const passando por (V_{1}=8\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},\\ P_{1}=3,2\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}) e por (V_{2}=20\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},\\ P_{2}), com\n
P_{2,\text{ar}}\approx8,86\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa} e P_{2,\mathrm{C_3H_8}}\approx1,12\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}. O ramo do ar ( \gamma\approx1,40) é mais íngreme que o do propano ( \gamma\approx1,14).

Exercícios relacionados