Sentir “frio” no inverno e “calor” no verão é uma experiência comum, em nossas casas, mesmo quando o termostato é mantido na mesma posição. Isso é devido ao chamado “efeito radiação” resultante das trocas de calor por radiação entre os nossos corpos e as superfícies das paredes e do teto. Considere uma pessoa de pé em uma sala mantida a 22^{\circ} \mathrm{C} durante todo o tempo. As superfícies interiores das paredes, pavimentos e tetos estão numa temperatura média de 10^{\circ} \mathrm{C} no inverno e 25^{\circ} \mathrm{C} no verão. Determinar a taxa de transferência de calor por radiação entre essa pessoa e as superfícies ao seu redor, se a área e a temperatura média das superfícies expostas da pessoa são de 1,4 \mathrm{~m}^{2} e 30^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. R: 152 W (inverno) e 40,9 W (verão)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a taxa de transferência de calor por radiação entre uma pessoa e as superfícies ao seu redor nas duas situações (inverno e verão). Dados fornecidos:
  • área exposta da pessoa: A=1,4\\ \mathrm{m}^2;
  • temperatura média da pessoa: 30^\circ\mathrm{C};
  • temperatura média das superfícies no inverno: 10^\circ\mathrm{C};
  • temperatura média das superfícies no verão: 25^\circ\mathrm{C}.
    A sala é mantida a 22^\circ\mathrm{C} (informação dada, mas não é usada diretamente no cálculo da radiação). A tarefa: calcular a taxa de troca radiativa (em watts) pessoa → superfícies para inverno e verão.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (Lei de Stefan–Boltzmann para troca entre um corpo e um ambiente de temperatura uniforme):
\dot{Q}=\varepsilon\,\sigma\,A\Bigl(T_{\text{pessoa}}^4-T_{\text{superf}}^4\Bigr).
Explicando cada símbolo
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor por radiação (em \mathrm{W});
  • \varepsilon é a emissividade da superfície da pessoa (adotamos \varepsilon=0{,}95, valor típico para pele/roupa);
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • A é a área radiativa (em \mathrm{m}^2);
  • T_{\text{pessoa}} e T_{\text{superf}} são as temperaturas absolutas (em kelvin) da pessoa e das superfícies, respectivamente.
    Importante: as temperaturas devem estar em kelvin; converter de Celsius para kelvin por
T(\mathrm{K})=T(^\circ\mathrm{C})+273{,}15.

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin:
T_{\text{pessoa}}=30^\circ\mathrm{C}=30+273{,}15=303{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{inv}}=10^\circ\mathrm{C}=10+273{,}15=283{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{ver}}=25^\circ\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular as potências quarta:
T_{\text{pessoa}}^4\approx 8{,}445595781\times10^{9}\\ \mathrm{K}^4,
T_{\text{inv}}^4\approx 6{,}427857873\times10^{9}\\ \mathrm{K}^4,
T_{\text{ver}}^4\approx 7{,}902041561\times10^{9}\\ \mathrm{K}^4.
(esses valores vêm do cálculo direto de T^4 para cada temperatura.)

Passo 4

Cálculo para o inverno (pessoa a 303{,}15\\ \mathrm{K} e superfícies a 283{,}15\\ \mathrm{K}):
diferença de quartas potências
\Delta T^4 = T_{\text{pessoa}}^4-T_{\text{inv}}^4 \approx 2{,}017737908\times10^{9}\\ \mathrm{K}^4.
Aplicando a fórmula com \varepsilon=0{,}95, \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} e A=1{,}4\\ \mathrm{m}^2:
\dot{Q}_{\text{inv}}=\;0{,}95\times5{,}670374419\times10^{-8}\times1{,}4\times2{,}017737908\times10^{9}.
Fazendo as multiplicações:
\dot{Q}_{\text{inv}}\approx 152{,}2\\ \mathrm{W}.
Interpretação: \dot{Q}_{\text{inv}}>0 indica que, por radiação, a pessoa perde cerca de 152\\ \mathrm{W} para as superfícies mais frias no inverno.

Passo 5

Cálculo para o verão (pessoa a 303{,}15\\ \mathrm{K} e superfícies a 298{,}15\\ \mathrm{K}):
diferença de quartas potências
\Delta T^4 = T_{\text{pessoa}}^4-T_{\text{ver}}^4 \approx 5{,}43554220\times10^{8}\\ \mathrm{K}^4.
Aplicando a fórmula:
\dot{Q}_{\text{ver}}=\;0{,}95\times5{,}670374419\times10^{-8}\times1{,}4\times5{,}43554220\times10^{8}.
Fazendo as multiplicações:
\dot{Q}_{\text{ver}}\approx 40{,}9\\ \mathrm{W}.
Interpretação: no verão as superfícies estão mais quentes e a perda radiativa da pessoa é muito menor (cerca de 40{,}9\\ \mathrm{W}) — por isso sentimos mais “quente” mesmo com o termostato igual.

Resposta

152\\ \mathrm{W} (inverno)
40{,}9\\ \mathrm{W} (verão)

Exercícios relacionados