QUESTÃO 5
Um circuito linear qualquer é formado por resistores, fontes independentes e dependentes, tal que pode ser substituído por um circuito equivalente de Thévenin, com dois terminais \underline{a} e \underline{b}. Considere que as seguintes medições tenham sido realizadas nos terminais \underline{a} e \underline{b}.
  • Medição 1: um resistor de 8,5 \mathrm{k} \Omega foi conectado entre os terminais \underline{a} e \underline{b}, tal que a tensão medida entre esses terminais foi de 42,5 \mathrm{~V}; e
  • Medição 2: um resistor de 1,5 \mathrm{k} \Omega foi conectado entre os terminais \underline{a} e \underline{b}, tal que a tensão medida entre esses terminais foi de 25 V .
    Determine o circuito equivalente de Thévenin ( V_{\text {th }} e R_{\text {th }} ) entre os terminais \underline{a} e \underline{b}.
    R: V_{\text {th }}=50 \mathrm{~V} \text { e } R_{\text {th }}=1,5 \mathrm{k} \Omega

Passo 1

O enunciado fornece medições feitas entre os terminais \underline{a} e \underline{b} de um circuito que pode ser substituído por um circuito equivalente de Thévenin (uma fonte de tensão em série com uma resistência). Dados fornecidos:
  • Medição 1: um resistor R_1 = 8{,}5\\ \mathrm{k}\Omega foi conectado entre \underline{a} e \underline{b} e a tensão medida foi V_1 = 42{,}5\\ \mathrm{V}.
  • Medição 2: um resistor R_2 = 1{,}5\\ \mathrm{k}\Omega foi conectado entre \underline{a} e \underline{b} e a tensão medida foi V_2 = 25\\ \mathrm{V}.
O que se pede:
  • Determinar o equivalente de Thévenin entre \underline{a} e \underline{b}, ou seja encontrar V_{\text{th}} e R_{\text{th}}.

Passo 2

Modelo e ideia física (passo-a-passo didático).
  • O circuito equivalente de Thévenin visto pelos terminais é uma fonte de tensão ideal V_{\text{th}} em série com uma resistência R_{\text{th}}.
  • Ao conectar um resistor de carga R_L entre os terminais, a tensão nos terminais (a tensão sobre R_L) é dada pela regra do divisor de tensão:
V = V_{\text{th}}\cdot\frac{R_L}{R_{\text{th}}+R_L},
onde V é a tensão medida nos terminais com a carga R_L conectada. Nesta fórmula:
  • V_{\text{th}} é a tensão de Thévenin (em volts);
  • R_{\text{th}} é a resistência de Thévenin (em ohms ou kilo-ohms);
  • R_L é a resistência conectada (em ohms ou kilo-ohms);
  • A fração \dfrac{R_L}{R_{\text{th}}+R_L} é a fração da tensão V_{\text{th}} que aparece sobre a carga por divisão de tensão.

Passo 3

Escrever as equações correspondentes às duas medições usando a fórmula do divisor de tensão. Para R_1 e R_2 temos:
V_1 = V_{\text{th}}\cdot\frac{R_1}{R_{\text{th}}+R_1}, \qquad V_2 = V_{\text{th}}\cdot\frac{R_2}{R_{\text{th}}+R_2}.
Substituindo os valores dados ( R_1 = 8{,}5\\ \mathrm{k}\Omega, V_1 = 42{,}5\\ \mathrm{V}, R_2 = 1{,}5\\ \mathrm{k}\Omega, V_2 = 25\\ \mathrm{V}) obtemos duas equações com as duas incógnitas V_{\text{th}} e R_{\text{th}}.

Passo 4

Eliminação algébrica para achar R_{\text{th}}.
  • Reescrevendo cada equação isolando V_{\text{th}}:
V_{\text{th}} = V_1\cdot\frac{R_{\text{th}}+R_1}{R_1} = V_1\left(1+\frac{R_{\text{th}}}{R_1}\right),
V_{\text{th}} = V_2\cdot\frac{R_{\text{th}}+R_2}{R_2} = V_2\left(1+\frac{R_{\text{th}}}{R_2}\right).
  • Igualando as duas expressões para V_{\text{th}} (pois é a mesma fonte em ambos os casos):
V_1\left(1+\frac{R_{\text{th}}}{R_1}\right) = V_2\left(1+\frac{R_{\text{th}}}{R_2}\right).
  • Expandindo:
V_1 + V_1\frac{R_{\text{th}}}{R_1} = V_2 + V_2\frac{R_{\text{th}}}{R_2}.
  • Colocando os termos com R_{\text{th}} num lado e os termos sem R_{\text{th}} no outro:
R_{\text{th}}\left(\frac{V_1}{R_1} - \frac{V_2}{R_2}\right) = V_2 - V_1.
  • Portanto,
R_{\text{th}} = \frac{V_2 - V_1}{\dfrac{V_1}{R_1} - \dfrac{V_2}{R_2}}.

Passo 5

Cálculo numérico de R_{\text{th}} (faça as contas com calma).
  • Primeiro calcule \dfrac{V_1}{R_1}:
\frac{V_1}{R_1} = \frac{42{,}5}{8{,}5} = 5.
(Observe que as unidades ficam em \mathrm{V}/\mathrm{k}\Omega, que é equivalente a \mathrm{mA}, mas aqui usamos apenas a razão numérica.)
  • Em seguida \dfrac{V_2}{R_2}:
\frac{V_2}{R_2} = \frac{25}{1{,}5} = \frac{25}{1{,}5} = 16{,}666\ldots
  • Agora calcule o numerador V_2-V_1:
V_2 - V_1 = 25 - 42{,}5 = -17{,}5.
  • E o denominador \dfrac{V_1}{R_1} - \dfrac{V_2}{R_2}:
\frac{V_1}{R_1} - \frac{V_2}{R_2} = 5 - 16{,}666\ldots = -11{,}666\ldots
  • Finalmente:
R_{\text{th}} = \frac{-17{,}5}{-11{,}666\ldots} = 1{,}5\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 6

Cálculo de V_{\text{th}} usando uma das equações (uso V_1 e R_1 por comodidade).
  • Use a fórmula
V_1 = V_{\text{th}}\cdot\frac{R_1}{R_{\text{th}}+R_1}
e isole V_{\text{th}}:
V_{\text{th}} = V_1\cdot\frac{R_{\text{th}}+R_1}{R_1}.
  • Substituindo R_{\text{th}} = 1{,}5\\ \mathrm{k}\Omega e R_1 = 8{,}5\\ \mathrm{k}\Omega:
V_{\text{th}} = 42{,}5\cdot\frac{1{,}5 + 8{,}5}{8{,}5} = 42{,}5\cdot\frac{10}{8{,}5}.
  • Faça a conta:
42{,}5\cdot\frac{10}{8{,}5} = 42{,}5\cdot\frac{20}{17} = \frac{850}{17} = 50\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Verificação rápida com a segunda medição (checar consistência).
  • Usando V_{\text{th}} = 50\\ \mathrm{V} e R_{\text{th}} = 1{,}5\\ \mathrm{k}\Omega, a tensão com R_2 = 1{,}5\\ \mathrm{k}\Omega seria
V = 50\cdot\frac{1{,}5}{1{,}5+1{,}5} = 50\cdot\frac{1{,}5}{3{,}0} = 50\cdot\frac{1}{2} = 25\\ \mathrm{V},
que coincide com V_2. Portanto os valores são consistentes com ambas as medições.

Resposta

V_{\text{th}} = 50\\ \mathrm{V}
R_{\text{th}} = 1{,}5\\ \mathrm{k}\Omega

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