Questão 7: Considere o derretimento de gelo na primavera em montanhas, o que fornece água fria em um rio a 2{ }^{\circ} \mathrm{C} enquanto a temperatura do ar é 20^{\circ} \mathrm{C}. Qual a disponibilidade da água relativo a temperatura ambiente? (aproxime ambos os estados para líquido saturado)

Passo 1

O enunciado nos pede a disponibilidade (exergia específica) da água a T=2\\ ^\circ\mathrm{C} em relação ao ambiente a T_0=20\\ ^\circ\mathrm{C}. O conteúdo envolve exergia de fluxo de massa, usando a definição
\psi = (h - h_0) \;-\; T_0\,(s - s_0),
onde os subíndices “0” referem-se ao estado ambiente. Vamos assumir estado de líquido saturado e tratar a água como fluido incompressível com capacidade calorífica constante c_p.

Passo 2

Para um líquido incompressível vale a aproximação
h - h_0 \approx c_p\,(T - T_0), \quad s - s_0 \approx c_p \ln\!\bigl(\tfrac{T}{T_0}\bigr).
Substituindo na exergia específica:
\psi = c_p\,(T - T_0) \;-\; T_0\,c_p \ln\!\bigl(\tfrac{T}{T_0}\bigr) = c_p\Bigl[(T - T_0) - T_0\ln\!\bigl(\tfrac{T}{T_0}\bigr)\Bigr].

Passo 3

Agora colocamos os valores em Kelvin:
T = 2\\ ^\circ\mathrm{C} = 275{,}15\\ \mathrm{K}, \quad T_0 = 20\\ ^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}, \quad c_p = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Calculamos primeiro a diferença de temperatura e o logaritmo:
\Delta T = T - T_0 = 275{,}15 - 293{,}15 = -18\\ \mathrm{K},
\ln\!\bigl(\tfrac{T}{T_0}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{275{,}15}{293{,}15}\bigr) \approx -0{,}0635.

Passo 4

Substituindo em \psi:
\psi = 4{,}18\Bigl[-18 \;-\; 293{,}15\times(-0{,}0635)\Bigr] \\ \mathrm{kJ/kg}.
Calculamos o termo interno:
-18 - 293{,}15\cdot(-0{,}0635) = -18 + 18{,}62 = 0{,}62\\ \mathrm{K},
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\psi \approx 4{,}18 \times 0{,}62 \approx 2{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.

Resposta

A disponibilidade específica da água a 2\\ ^\circ\mathrm{C} em relação ao ambiente a 20\\ ^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 2{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.

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