Questão 7: A derivada
é igual a?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a qual das alternativas é igual a derivada
.
Informações dadas (as alternativas):
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Escolha do método: vou usar a energia de Helmholtz
e a propriedade de igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz). Motivo:
é a função termodinâmica natural para as variáveis
e relaciona diretamente
e
com derivadas parciais de
, o que torna direto obter uma relação que envolve
. Isso é o caminho padrão em provas e é o mais curto e limpo aqui.
Passo 3
Relembrando a relação termodinâmica básica: para um sistema fechado, a diferencial da energia interna é
Explicação dos símbolos:
-
é a energia interna (função de estado); -
é a temperatura; -
é a entropia; -
é a pressão; -
é o volume.
Essa igualdade é o diferencial total da função.
Passo 4
Definir a energia de Helmholtz e calcular sua diferencial. A energia de Helmholtz é
Faço a diferencial passo a passo:
Substituo
usando a identidade do Passo 3:
Portanto
Passo 5
Identificar derivadas parciais a partir de
. Pelo significado de diferencial total de
segue-se:
Agora escrevo as duas derivadas que me interessam em termos de
:
Passo 6
Usar igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz). Para uma função
suficientemente regular vale
Aplicando isso nas expressões do Passo 5, os sinais negativos em ambas as expressões fazem com que se obtenha a igualdade desejada:
Passo 7
Interpretação final: a derivada pedida é igual a
, que corresponde à alternativa (e).
Resposta
e)