Questão 7: A derivada (\partial \mathrm{P} / \partial \mathrm{T})_{\mathrm{v}} é igual a?
a) (\partial \mathrm{P} / \partial \mathrm{V})_{\mathrm{T}}
b) (\partial \mathrm{G} / \partial \mathrm{T})_{\mathrm{s}}
c) (\partial \mathrm{P} / \partial \mathrm{S})_{\mathrm{T}}
d) (\partial \mathrm{U} / \partial \mathrm{T})_{\mathrm{P}}
e) (\partial \mathrm{S} / \partial \mathrm{V})_{\mathrm{T}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a qual das alternativas é igual a derivada \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.
Informações dadas (as alternativas):
a) \left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}
b) \left(\dfrac{\partial G}{\partial T}\right)_{S}
c) \left(\dfrac{\partial P}{\partial S}\right)_{T}
d) \left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{P}
e) \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}

Passo 2

Escolha do método: vou usar a energia de Helmholtz F e a propriedade de igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz). Motivo: F é a função termodinâmica natural para as variáveis (T,V) e relaciona diretamente S e P com derivadas parciais de F, o que torna direto obter uma relação que envolve \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}. Isso é o caminho padrão em provas e é o mais curto e limpo aqui.

Passo 3

Relembrando a relação termodinâmica básica: para um sistema fechado, a diferencial da energia interna é
dU = T\,dS - P\,dV.
Explicação dos símbolos:
  • U é a energia interna (função de estado);
  • T é a temperatura;
  • S é a entropia;
  • P é a pressão;
  • V é o volume.
    Essa igualdade é o diferencial total da função U(S,V).

Passo 4

Definir a energia de Helmholtz e calcular sua diferencial. A energia de Helmholtz é
F = U - T S.
Faço a diferencial passo a passo:
dF = dU - T\,dS - S\,dT.
Substituo dU usando a identidade do Passo 3:
dF = (T\,dS - P\,dV) - T\,dS - S\,dT = -P\,dV - S\,dT.
Portanto
dF = -S\,dT - P\,dV.

Passo 5

Identificar derivadas parciais a partir de dF. Pelo significado de diferencial total de F(T,V) segue-se:
S = -\left(\dfrac{\partial F}{\partial T}\right)_{V},\qquad P = -\left(\dfrac{\partial F}{\partial V}\right)_{T}.
Agora escrevo as duas derivadas que me interessam em termos de F:
\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} = -\dfrac{\partial}{\partial V}\left(\dfrac{\partial F}{\partial T}\right)_{V}, \qquad \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = -\dfrac{\partial}{\partial T}\left(\dfrac{\partial F}{\partial V}\right)_{T}.

Passo 6

Usar igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz). Para uma função F(T,V) suficientemente regular vale
\dfrac{\partial}{\partial V}\left(\dfrac{\partial F}{\partial T}\right) = \dfrac{\partial}{\partial T}\left(\dfrac{\partial F}{\partial V}\right).
Aplicando isso nas expressões do Passo 5, os sinais negativos em ambas as expressões fazem com que se obtenha a igualdade desejada:
\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} \;=\; \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.

Passo 7

Interpretação final: a derivada pedida é igual a \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}, que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}

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