Questão 4: Enuncie e prove os dois teoremas relativos ao rendimento do ciclo de Carnot.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar e provar os dois teoremas sobre o rendimento do ciclo de Carnot. O assunto é Termodinâmica, mais especificamente máquinas térmicas e a segunda lei. Vamos usar a definição de rendimento
eta = WQH = 1 - QCQH
e os postulados de Kelvin–Planck (impossibilidade de converter integralmente calor em trabalho) para obter contradições em casos de máquinas mais eficientes que a de Carnot ou de reversíveis com rendimentos distintos.

Passo 2

Enunciado do Teorema 1
Nenhuma máquina térmica operando entre dois reservatórios de temperaturas TH (quente) e TC (frio) pode ter rendimento maior que o rendimento etaC de uma máquina de Carnot reversível entre esses mesmos reservatórios.

Passo 3

Prova do Teorema 1
Suponha, por absurdo, que exista uma máquina arbitrária E com rendimento
etaE > etaC
Isto implica
QC,EQH,E ;<;QC,CQH,C ;=;TCTH
Agora opere E como motor (absorvendo QH,E em TH, rejeitando QC,E em TC e produzindo WE) e acople-a a uma máquina de Carnot reversível C funcionando como refrigerador, de modo que ela extraia da fonte fria exatamente QC,E. Como C é ideal e reversível, ela rejeitará
QH,C = QC,E,THTC
à fonte quente, consumindo trabalho
WC = QH,C - QC,E
Pelas desigualdades acima tem-se
QH,C = QC,E,THTC > QH,E,
pois QC,EQH,E<TCTH. Então
WE = QH,E - QC,E e WC = QH,C - QC,E > QH,E - QC,E = WE
Se acoplarmos o trabalho gerado por E ao funcionamento de C, sobra trabalho líquido
Wrm líq = WE - WC < 0, í
ou seja, geramos trabalho sem retirar calor líquido de nenhuma fonte (porque QC,E que E rejeita é usado integralmente por C, e QH,C que C rejeita é maior que QH,E extraído por E, restando calor líquido trazido da fonte quente). Isso viola Kelvin–Planck. Logo, não existe máquina com etaE>etaC.

Passo 4

Enunciado do Teorema 2
Todas as máquinas térmicas reversíveis que operam entre os mesmos reservatórios de temperaturas TH e TC têm o mesmo rendimento etaC.

Passo 5

Prova do Teorema 2
Suponha, por absurdo, que existam duas máquinas reversíveis C1 e C2 com rendimentos distintos, digamos eta1>eta2. Use C1 como motor e C2 invertida como refrigerador, ajustando as trocas de calor para que cada uma opere com o mesmo QH. Então C1 produzirá mais trabalho do que o trabalho necessário para acionar C2. O resultado líquido é extração de calor de TH, parte convertida em trabalho livre, e rejeição de calor em TC, sem pedidos adicionais. Isso constitui uma máquina de segunda espécie, violando novamente Kelvin–Planck. Portanto eta1=eta2=etaC.

Resposta

Teorema 1: Nenhuma máquina real entre dois reservatórios pode ter rendimento superior ao da máquina de Carnot reversível entre os mesmos reservatórios.
Teorema 2: Todas as máquinas reversíveis que operam entre dois reservatórios dados possuem o mesmo rendimento, igual ao rendimento de Carnot.

Exercícios relacionados