Questão 4: Enuncie e prove os dois teoremas relativos ao rendimento do ciclo de Carnot.
Passo 1
O enunciado pede para enunciar e provar os dois teoremas sobre o rendimento do ciclo de Carnot. O assunto é Termodinâmica, mais especificamente máquinas térmicas e a segunda lei. Vamos usar a definição de rendimento
e os postulados de Kelvin–Planck (impossibilidade de converter integralmente calor em trabalho) para obter contradições em casos de máquinas mais eficientes que a de Carnot ou de reversíveis com rendimentos distintos.
Passo 2
Enunciado do Teorema 1
Nenhuma máquina térmica operando entre dois reservatórios de temperaturas (quente) e
(frio) pode ter rendimento maior que o rendimento
de uma máquina de Carnot reversível entre esses mesmos reservatórios.
Nenhuma máquina térmica operando entre dois reservatórios de temperaturas
Passo 3
Prova do Teorema 1
Suponha, por absurdo, que exista uma máquina arbitrária com rendimento
Suponha, por absurdo, que exista uma máquina arbitrária
Isto implica
Agora opere
como motor (absorvendo
em
, rejeitando
em
e produzindo
) e acople-a a uma máquina de Carnot reversível
funcionando como refrigerador, de modo que ela extraia da fonte fria exatamente
. Como
é ideal e reversível, ela rejeitará
à fonte quente, consumindo trabalho
Pelas desigualdades acima tem-se
pois
. Então
Se acoplarmos o trabalho gerado por
ao funcionamento de
, sobra trabalho líquido
ou seja, geramos trabalho sem retirar calor líquido de nenhuma fonte (porque
que
rejeita é usado integralmente por
, e
que
rejeita é maior que
extraído por
, restando calor líquido trazido da fonte quente). Isso viola Kelvin–Planck. Logo, não existe máquina com
.
Passo 4
Enunciado do Teorema 2
Todas as máquinas térmicas reversíveis que operam entre os mesmos reservatórios de temperaturas e
têm o mesmo rendimento
.
Todas as máquinas térmicas reversíveis que operam entre os mesmos reservatórios de temperaturas
Passo 5
Prova do Teorema 2
Suponha, por absurdo, que existam duas máquinas reversíveis e
com rendimentos distintos, digamos
. Use
como motor e
invertida como refrigerador, ajustando as trocas de calor para que cada uma opere com o mesmo
. Então
produzirá mais trabalho do que o trabalho necessário para acionar
. O resultado líquido é extração de calor de
, parte convertida em trabalho livre, e rejeição de calor em
, sem pedidos adicionais. Isso constitui uma máquina de segunda espécie, violando novamente Kelvin–Planck. Portanto
.
Suponha, por absurdo, que existam duas máquinas reversíveis
Resposta
Teorema 1: Nenhuma máquina real entre dois reservatórios pode ter rendimento superior ao da máquina de Carnot reversível entre os mesmos reservatórios.
Teorema 2: Todas as máquinas reversíveis que operam entre dois reservatórios dados possuem o mesmo rendimento, igual ao rendimento de Carnot.
Teorema 2: Todas as máquinas reversíveis que operam entre dois reservatórios dados possuem o mesmo rendimento, igual ao rendimento de Carnot.