Questão 1. Estime os volumes molares (
) do líquido e vapor saturados (
e
, respectivamente) para a água a pressão
usando a equação de Peng/Robinson (PR). Compare os resultados com os valores obtidos usando a equação de Rackett e as tabelas de vapor d’água saturado. A temperatura de saturação na pressão P deve ser calculada usando a equação de Antoine
. As constantes
e
podem ser obtidas de SMITH, J.M., VAN NESS, H.C. e ABBOTT M. M. Introdução à Termodinâmica da Engenharia Química.
Ed., LTC, 2007.
-
UFSCar)/(3 últimos dígitos do № UFSCar). Exemplo: Se o número UFSCar é 831658, a pressão será
Passo 1
O enunciado pede que eu estime os volumes molares saturados do líquido e do vapor para água,
e
(em
), na pressão
(em
), usando a equação de Peng–Robinson (PR). Depois devo comparar com o valor obtido pela equação de Rackett e com tabelas de vapor d’água saturado. A temperatura de saturação correspondente à pressão
deve ser obtida a partir da equação de Antoine
onde
são constantes que o enunciado diz estar no livro indicado.
Informações que o enunciado dá explicitamente:
Informações que o enunciado dá explicitamente:
- Deseja
e em . - Deve-se usar a equação de Peng–Robinson para obter esses volumes na pressão
. - A temperatura de saturação será obtida invertendo a equação de Antoine.
Informação necessária que NÃO foi fornecida pelo usuário: - O número de matrícula/identificação (N.º UFSCar) do aluno, que é exigido para calcular
pela regra . Sem esse número eu não posso avaliar numericamente . - As constantes
específicas da forma da equação de Antoine (o enunciado diz que estão no livro; eu não tenho esse livro aqui). Sem os valores de não posso calcular numericamente a temperatura de saturação.
Portanto: posso explicar, passo a passo e didático, como proceder para obter os volumes (toda a teoria, todas as fórmulas e a sequência de cálculos). Mas não posso entregar números finais específicos enquanto você não fornecer o N.º UFSCar (ou o valor de
) e/ou os valores de
que você usará. Vou então descrever em detalhe o procedimento completo que você deverá aplicar com os seus números (e dar dicas de implementação e verificação).
Passo 2
Como primeiro cálculo numérico: obter
. A regra dada no enunciado é
Ex.: no enunciado foi mostrado um exemplo: para N.º
,
Anote: quando fizer com o seu número, calcule essa divisão e guarde
em
. É essa pressão que usaremos adiante.
Passo 3
Calcular a temperatura de saturação
correspondente a
usando Antoine. A equação dada é
Para encontrar
invertemos a fórmula. Isolando
:
Observações importantes e dicas:
- Aqui
deve ser a pressão em (mesma unidade usada nas constantes do seu livro). Verifique as unidades e o intervalo de validade das constantes de Antoine (elas valem só em certas faixas de temperatura). Use os coeficientes que estão no Smith et al. para a faixa apropriada. - Depois de obter
, converta para Kelvin para usar nas equações termodinâmicas:
- Faça checagem: para
você deve obter aproximadamente se estiver usando um conjunto de constantes adequado à faixa em torno de 1 atm. Se esse controle não bater, reveja qual conjunto de foi usado.
Passo 4
Agora a equação de Peng–Robinson (PR). Vou dar as fórmulas e explicar o significado de cada parâmetro. Usaremos unidades consistentes:
-
em . -
em . -
(lembre: ). Os volumes que obteremos serão em ; para transformar em multiplique por .
Parâmetros críticos e de acentricidade (valores padrão para água que normalmente se usam):
(Anote e use esses valores, pois são os valores críticos conhecidos da água; confirme com sua tabela se quiser.)
Definições da PR:
Esses
e
têm unidades tais que a equação fica consistente com
em
,
em
e
em K.
Correção de temperatura (função
):
Aqui
é o fator acêntrico (para água
). A função
corrige o parâmetro
para a temperatura de interesse.
Variáveis adimensionais usadas para transformar a PR numa equação cúbica para
(fácil de resolver numericamente):
A equação cúbica para o fator de compressibilidade
é
Passos para usar isso:
- Calcule
(do Passo 3) e converta para K. - Calcule
e com e . - Calcule
e . - Calcule
e com e . - Monte o polinômio cúbico acima e encontre suas raízes reais
.
Interpretação das raízes:
- Quando existirem três raízes reais distintas, a menor raiz corresponde ao líquido saturado (
) e a maior raiz corresponde ao vapor saturado ( ). A raiz intermediária é física instável (rama do meio). - Quando houver apenas uma raiz real (tipicamente em temperaturas acima do crítico ou pressões que não permitem duas fases), a situação é diferente; para saturado precisamos das duas raízes reais (caso contrário não existe equilíbrio líquido–vapor nas condições pedidas). Para pressões menores que
e temperaturas correspondentes haverá duas raízes reais distintas na região biphasica, então espere obter três raízes no intervalo apropriado.
Depois de obter
, calcule os volumes molares:
Converta para
multiplicando por
:
Identifique:
-
usando (menor raiz). -
usando (maior raiz).
Exemplo conceitual (sem números concretos aqui): suponha que, após resolver o cúbico, você ache
e
. Se
e
, então
(e assim por diante — este é só um exemplo numérico ilustrativo para mostrar a fórmula; os números reais virão de suas raízes
.)
Passo 5
Como resolver o polinômio cúbico na prática (dicas operacionais para prova/plantão):
- Em prova, geralmente você usará uma calculadora científica que resolva polinômios ou um software (Excel/Matlab/Python) para encontrar as raízes. Não tente a fórmula geral de Cardano a menos que precise; é trabalhosa e propensa a erros manuais.
- Método manual aceitável em prova: use iteração numérica (Newton–Raphson) para achar a raiz correspondente ao vapor (procure Z aproximado perto de
) e para o líquido procure raiz pequena (próximo de – dependendo da pressão). Dicas práticas: - Valor inicial para
: funciona bem. - Valor inicial para
: ou pode ser razoável. - A função cúbica é
. Derivada para Newton: .
- Valor inicial para
- Verifique a consistência: calcule
a partir de cada raiz e veja se com esses volumes a equação de estado retorna aproximadamente a pressão usada. Isso é um bom teste de sanidade.
Passo 6
Comparação com Rackett e com tabelas:
- Tabelas de vapor d’água saturado: após obter
e os volumes pelo PR, compare com os valores tabulados em suas tabelas (normalmente a tabela dá e diretamente para a pressão ou temperatura procurada). Isso é a comparação direta pedida no enunciado. - Equação de Rackett: o enunciado pede comparar com a equação de Rackett. A forma exata da equação de Rackett (ou modificações) aparece no material do curso/livro; consulte a forma e os parâmetros (em particular o volume crítico
ou a compressibilidade crítica ou a constante Rackett ) que o seu professor indicou. Em geral, a Rackett dá uma estimativa empírica do volume molar do líquido saturado a partir das propriedades críticas e da temperatura reduzida . A ideia prática para comparar é: - Calcule
pela fórmula de Rackett (use os parâmetros do seu enunciado/livro). - Compare numericamente com o
obtido pela PR e com o valor tabelado.
- Calcule
- Interpretação típica: a PR tende a estimar razoavelmente o volume do vapor saturado quando as condições não estão muito perto da região crítica e pode pecar para o líquido saturado (pois propriedades do líquido exigem modelos mais refinados). A Rackett costuma oferecer boa estimativa empírica do volume líquido saturado. Verifique erros percentuais:
Calcule esse erro para PR e Rackett e veja qual está mais próximo.
Passo 7
Resumo do algoritmo completo que você, com seu número UFSCar e as constantes de Antoine do Smith, deve executar (passo a passo prático):
- Calcule
pela regra do enunciado. - Pegue as constantes
(Antoine) do Smith (faixa apropriada) e calcule via - Converta
para Kelvin. - Calcule
e da PR: Use , , . - Calcule
, . - Calcule
e . - Forme o polinômio cúbico para
e resolva numericamente (obtenha todas as raízes reais). - Identifique
(menor) e (maior) e calcule: Assim obtém e . - Calcule
pela equação de Rackett (use a forma do seu material de curso e os parâmetros críticos/constantes adequados). - Compare PR vs Rackett vs tabela (calcule erros percentuais e comente qual modelo está mais próximo da tabela).
- Faça checagens rápidas: (i) verifique a consistência dimensional; (ii) confira que
; (iii) se estiver perto do crítico (pressões maiores que, digamos, ), os modelos podem falhar mais.
Passo 8
Dicas de prova, truques e motivação (se estiver com pressa):
- Se precisar entregar valores numéricos e estiver sem computador: calcule
com Antoine (fácil), depois calcule e, se for permitido, use uma calculadora que resolva polinômios para achar as raízes de . Se não tiver, foque em achar ao menos a raiz vapor (comece com e use Newton). - Sempre documente na sua prova: indique os valores usados para
e as constantes de Antoine (faixa). Professores gostam que você mostre quais dados usou. - Respira fundo: a ideia é aplicar fórmula por fórmula; se algo travar, me manda o seu N.º UFSCar ou o valor de
e as constantes que você pretende usar e eu te faço o cálculo numérico completo e comparo com Rackett e tabela.
Resposta
Não foi possível fornecer os valores numéricos de
e
porque não foi fornecido o N.º UFSCar (necessário para calcular
) e não foram fornecidos os valores das constantes de Antoine
do livro citado. Siga o procedimento detalhado acima com o seu N.º UFSCar e os coeficientes de Antoine do Smith para obter os valores numéricos e, se quiser, me envie esses números que eu calculo tudo pra você.