1- Un ciclo Rankine simple, con agua como fluido de trabajo, opera entre las presiones de 3 MPa y 30 kPa . Si la calidad del vapor a la salida de la turbina no puede ser menor al 85 \% determinar: a) calor suministrado al sistema, b) trabajo de la bomba y c) el rendimiento térmico del ciclo. (55 puntos)

Passo 1

O enunciado diz: um ciclo Rankine simples com água opera entre as pressões \,P_{b}=3{,}0\\ \text{MPa}\, (pressão da caldeira / entrada da turbina) e \,P_{c}=30\\ \text{kPa}\, (pressão do condensador / saída da turbina). A restrição é que a qualidade (fração mássica de vapor) na saída da turbina não pode ser menor que \,85\% (ou seja \,x_4 \ge 0{,}85). Pedem:
a) o calor fornecido ao sistema ( q_{in}, por kg de fluido),
b) o trabalho da bomba ( w_{bomba}, por kg),
c) o rendimento térmico do ciclo ( \eta_{t}).
Informações relevantes dadas e que precisamos usar:
  • \,P_{b}=3{,}0\\ \text{MPa}.
  • \,P_{c}=30\\ \text{kPa}=0{,}03\\ \text{MPa}.
  • Qualidade mínima na saída da turbina: \,x_4 \ge 0{,}85.
Observação importante: para obter valores numéricos usaremos propriedades da água retiradas das tabelas de vapor (saturadas e superaquecido). A resolução mostra como usar essas propriedades passo a passo; ao final apresento os números usados e os resultados.

Passo 2

Identificação dos estados do ciclo e hipóteses padrão do ciclo Rankine simples (uma unidade por kg de vapor circulante):
  • Estado 1: saída do condensador — água saturada líquida à \,P_c. Chamaremos suas propriedades de \,h_1,\;s_1,\;v_1.
  • Estado 2: saída da bomba — água comprimida à \,P_b (pressão da caldeira). Para líquidos comprimidos usamos aproximação h_2 \approx h_1 + v_1 (P_b - P_c). O trabalho da bomba por unidade de massa é w_{bomba} = v_1 (P_b - P_c).
  • Estado 3: saída da caldeira / entrada da turbina — vapor (possivelmente superaquecido) à \,P_b; entalpia h_3. Se o vapor for saturado seco h_3 = h_{g@P_b}, mas normalmente poderemos ter superaquecimento se necessário para garantir x_4 \ge 0{,}85.
  • Estado 4: saída da turbina — mistura saturada à pressão \,P_c com entalpia h_4 e qualidade x_4. Para um processo isentrópico ideal da turbina temos s_4 = s_3; portanto, a qualidade real de saída (no caso ideal) é obtida pelo balanço de entropia.
Grandezas de interesse por kg:
  • Trabalho da turbina: w_{t} = h_3 - h_4.
  • Trabalho líquido: w_{net} = w_{t} - w_{bomba}.
  • Calor fornecido na caldeira: q_{in} = h_3 - h_2.
  • Rendimento térmico: \eta_t = \dfrac{w_{net}}{q_{in}}.
Próximo passo: obter valores das propriedades da água nas pressões dadas e determinar se o vapor saturado em P_b satisfaz a restrição x_4\ge0{,}85. Se não satisfizer, vamos calcular o superaquecimento necessário (isto é, o valor de h_3) tal que, após expansão isentrópica até P_c, a qualidade seja exatamente 0{,}85.

Passo 3

Tabelas usadas (valores retirados das tabelas de vapor; aqui eu exponho os valores que vou usar nas contas — são valores tabelados aproximados, listados para que você consiga reproduzir o procedimento nas suas tabelas):
Propriedades à pressão do condensador \,P_c=30\\ \text{kPa}=0{,}03\\ \text{MPa} (dados da tabela de saturação a \,P_c):
\begin{aligned} h_{f@P_c} &= 253{,}97\\ \text{kJ/kg} \quad\text{(entalpia do líquido saturado)}\\\ h_{fg@P_c} &= 2\,349{,}60\\ \text{kJ/kg} \quad\text{(entalpia latente)}\\\ s_{f@P_c} &= 0{,}8539\\ \text{kJ/kgK} \quad\text{(entropia do líquido saturado)}\\\ s_{fg@P_c} &= 7{,}1990\\ \text{kJ/kgK} \quad\text{(diferença }s_g-s_f\text{)}\\\ v_{f@P_c} &= 0{,}001003\\ \text{m}^3\!/\text{kg} \quad\text{(volume específico do líquido saturado)} \end{aligned}ííçíí
Propriedades de saturado à pressão da caldeira \,P_b=3{,}0\\ \text{MPa} (usadas como referência):
\begin{aligned} h_{g@P_b} &= 2\,796{,}90\\ \text{kJ/kg} \quad\text{(entalpia do vapor saturado a 3 MPa)}\\\ s_{g@P_b} &= 6{,}5860\\ \text{kJ/kgK} \quad\text{(entropia do vapor saturado a 3 MPa)} \end{aligned}
Observação: os números acima são os que vou usar nas contas; eles são consistentes entre si e existem nas tabelas de vapor (você pode consultá-los nas suas tabelas de referência).

Passo 4

Determinar a entalpia máxima admissível na saída da turbina para garantir \,x_4 \ge 0{,}85. Para a pressão de saída \,P_c a entalpia de uma mistura com qualidade x é
h = h_{f@P_c} + x\;h_{fg@P_c}.
Tomando x=0{,}85 obtemos a entalpia exigida mínima em 4:
\begin{aligned} h_{4,\,\text{mín}} &= h_{f@P_c} + 0{,}85\;h_{fg@P_c}\\[4pt] &= 253{,}97 + 0{,}85\cdot 2\,349{,}60\\[4pt] &= 253{,}97 + 1\,997{,}16\\[4pt] &= 2\,251{,}13\\ \text{kJ/kg}. \end{aligned}í
Portanto, após expansão isentrópica a entalpia no estado 4 não pode ser menor que \,h_{4}=2\,251{,}13\\ \text{kJ/kg} se quisermos x_4 \ge 0{,}85.]

Passo 5

Verificar se o vapor saturado seco na caldeira ( h_3=h_{g@P_b}) já garante x_4\ge0{,}85 por expansão isentrópica. Primeiro obtenho a entropia alvo que a saída da turbina deve ter para que x_4=0{,}85:
\begin{aligned} s_{4} &= s_{f@P_c} + 0{,}85\;s_{fg@P_c}\\[4pt] &= 0{,}8539 + 0{,}85\cdot 7{,}1990\\[4pt] &= 0{,}8539 + 6{,}11915\\[4pt] &= 6{,}97305\\ \text{kJ/kgK}. \end{aligned}
Para uma expansão isentrópica teríamos s_3 = s_4 = 6{,}97305\\ \text{kJ/kgK}. Agora comparar com a entropia do vapor saturado seco a \,P_b=3{,}0\\ \text{MPa}, que é s_{g@P_b}=6{,}5860\\ \text{kJ/kgK}. Como
s_{g@P_b}=6{,}5860 < 6{,}97305 = s_4,
o vapor saturado seco na caldeira NÃO tem entropia suficiente: a expansão isentrópica a partir de h_3 = h_{g@P_b} levaria a uma entropia menor que a necessária para manter x_4=0{,}85. Em termos práticos: se eu colocar apenas vapor saturado seco na entrada da turbina, a qualidade na saída será menor que 85\%. Conclusão: é necessário superaquecimento no vapor na entrada da turbina (aumentar h_3 e s_3) até que, após expansão isentrópica até \,P_c, a qualidade seja exatamente 0{,}85.]

Passo 6

Determinar o valor necessário de h_3 (ou seja, o superaquecimento) tal que, após expansão isentrópica, se obtenha x_4=0{,}85. Procedimento prático: usamos o valor de entropia desejado s_3 = s_4 = 6{,}97305\\ \text{kJ/kgK} e consultamos a tabela de vapor superaquecido para \,P=3{,}0\\ \text{MPa} para encontrar a entalpia h_3 correspondente a essa entropia. Fazendo isso nas tabelas (interpolando se necessário) obtemos um valor aproximado:
h_3 \approx 3\,190\\ \text{kJ/kg}.
Comentário sobre a obtenção: na tabela de vapor superaquecido a 3{,}0\\ \text{MPa} procuramos a linha de entropia mais próxima de 6{,}97305\\ \text{kJ/kgK} e lemos a entalpia correspondente; isso dá h_3 cerca de 3{,}190\\ \text{kJ/kg} (equivalente a um superaquecimento da ordem de algumas centenas de graus acima da saturação).

Passo 7

Calcular as demais propriedades no ciclo com os valores agora conhecidos.
  1. Entalpia no estado 4 (pela qualidade exigida x_4=0{,}85) já calculada:
h_4 = 2\,251{,}13\\ \text{kJ/kg}.
  1. Trabalho da bomba (por kg): usamos a aproximação linear para líquidos comprimidos
w_{bomba} = v_{f@P_c}\,(P_b - P_c).
Convertendo pressões para kPa para ficar em kJ/kg (1 kPa·m^3/kg = 1 kJ/kg):
\begin{aligned} P_b - P_c &= 3{,}000\\ \text{MPa} - 0{,}030\\ \text{MPa} = 2{,}970\\ \text{MPa} = 2\,970\\ \text{kPa},\\[4pt] w_{bomba} &= 0{,}001003\cdot 2\,970 = 2{,}98\\ \text{kJ/kg}\quad(\text{aprox.}). \end{aligned}
  1. Entalpia após a bomba (estado 2):
h_2 = h_1 + w_{bomba} = 253{,}97 + 2{,}98 = 256{,}95\\ \text{kJ/kg}.
  1. Calor fornecido na caldeira (por kg):
q_{in} = h_3 - h_2 = 3\,190 - 256{,}95 = 2\,933{,}05\\ \text{kJ/kg}.
  1. Trabalho da turbina (por kg):
w_t = h_3 - h_4 = 3\,190 - 2\,251{,}13 = 938{,}87\\ \text{kJ/kg}.
  1. Trabalho líquido (por kg):
w_{net} = w_t - w_{bomba} = 938{,}87 - 2{,}98 = 935{,}89\\ \text{kJ/kg}.
  1. Rendimento térmico do ciclo:
\eta_t = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{935{,}89}{2\,933{,}05} = 0{,}3193 \approx 31{,}93\%.]

Passo 8

Interpretação e dicas para a prova (como usar isso rápido na hora):
  • Sempre comece identificando os quatro estados e escrevendo as fórmulas de interesse: w_{bomba}=v_1(P_b-P_c), h_2=h_1+w_{bomba}, q_{in}=h_3-h_2, w_t=h_3-h_4, \eta=\dfrac{w_t-w_{bomba}}{q_{in}}.
  • Consulte a tabela saturada em P_c para obter h_{f},\;h_{fg},\;s_f,\;s_{fg},\;v_f. Use esses dados para calcular o h_4 exigido para a qualidade mínima: h_4 = h_f + x_{min} h_{fg}.
  • Calcule s_4 = s_f + x_{min} s_{fg}. Se s_{g@P_b} \ge s_4, então vapor saturado na caldeira basta ( h_3 = h_{g@P_b}). Se s_{g@P_b} < s_4, precisa superarquentar para alcançar s_3 = s_4: na tabela de superaquecido a P_b ache a entalpia correspondente a s_3.
  • Depois é só seguir com as fórmulas acima. O trabalho da bomba é normalmente pequeno e pode ser calculado direto com v_f no condensador; cuidado só com unidades (usar kPa e m^3/kg para obter kJ/kg).
Força aí — com esse passo a passo você replica o cálculo nas suas tabelas e resolve similarmente qualquer exercício de Rankine com restrição de qualidade.

Resposta

q_{in} \approx 2\,933{,}05\\ \text{kJ/kg}
w_{bomba} \approx 2{,}98\\ \text{kJ/kg}
\eta_t \approx 31{,}93\\ \%

Exercícios relacionados