Questão Extra ( 0,5 pt. Não é obrigatória. Se feita, a nota será contabilizada para completar a pontuação da atividade.)
Considere um gás ideal clássico composto por N partículas de massa m, confinado em um recipiente de volume V e em contato com um reservatório térmico a uma temperatura T. Utilizando a função de partição canônica, obtenha uma expressão para o potencial químico do gás.
Dica: Neste caso, o potencial químico é igual a energia livre de Gibbs molar.

Passo 1

O enunciado pede o potencial químico \mu de um gás ideal clássico de N partículas de massa m, volume V e temperatura T, usando a função de partição canônica. Para isso, vamos precisar de (i) expressão da função de partição canônica Z(N,V,T) do gás ideal, (ii) da relação entre Z e a energia livre de Helmholtz F, e (iii) da definição de potencial químico como \mu = \bigl(\partial F/\partial N\bigr)_{T,V}.

Passo 2

Em um gás ideal clássico, a função de partição canônica de uma partícula é
Z_{1} = \frac{V}{\lambda^{3}},
onde
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_{B}T}}
é o comprimento de onda térmico de De Broglie. Para N partículas indistinguíveis, a partição total é
Z(N,V,T) = \frac{1}{N!}\,Z_{1}^{\,N} = \frac{1}{N!}\,\biggl(\frac{V}{\lambda^{3}}\biggr)^{N}.

Passo 3

A energia livre de Helmholtz F relaciona-se a Z por
F = -k_{B}T\ln Z(N,V,T).
Substituindo Z e usando a aproximação de Stirling \ln N!\approx N\ln N - N, temos
\ln Z = -\ln N! + N\ln\frac{V}{\lambda^{3}} \approx -\bigl(N\ln N - N\bigr) + N\ln\frac{V}{\lambda^{3}} = N\ln\frac{V}{N\,\lambda^{3}} + N.
Portanto
F = -k_{B}T\bigl[N\ln\frac{V}{N\,\lambda^{3}} + N\bigr] = Nk_{B}T\Bigl[\ln\bigl(n\,\lambda^{3}\bigr) - 1\Bigr],
onde definimos a densidade n = N/V.

Passo 4

O potencial químico \mu é dado por
\mu = \Bigl(\frac{\partial F}{\partial N}\Bigr)_{T,V}.
Como em F = Nk_{B}T[\ln(n\lambda^{3}) - 1] só aparece N dentro de n=N/V e num fator N à frente, ao derivar obtemos
\mu = k_{B}T\ln\bigl(n\,\lambda^{3}\bigr).

Resposta

\boxed{\mu(T,V,N) = k_{B}T\ln\bigl(n\,\lambda^{3}\bigr),}
com n=N/V e \lambda = h/\sqrt{2\pi m k_{B}T}.

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