Questão 1 ( \mathbf{2 , 0} pontos) Deduza o coeficiente de dilatação volumétrica e o coeficiente de compressibilidade isotérmica, para um sistema que obedece à equação de estado (P+b) v=R T; onde b e R são constantes.

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado
(P+b)\,v=R\,T,
onde b e R são constantes; as variáveis são P (pressão), v (volume específico ou molar) e T (temperatura).
As perguntas são:
  • Deducir o coeficiente de dilatação volumétrica (coeficiente de expansão volumétrica) do sistema.
  • Deducir o coeficiente de compressibilidade isotérmica do sistema.

Passo 2

Vou lembrar as definições que vamos usar (essas são fórmulas padrão em termodinâmica):
\text{Coeficiente de dilatação volumétrica:}\qquad \beta=\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P},çãé
\text{Compressibilidade isotérmica:}\qquad \kappa_{T}=-\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}.é
Explicando de forma simples: \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} é a variação do volume quando a temperatura muda mantendo a pressão fixa; \left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T} é a variação do volume quando a pressão muda mantendo a temperatura fixa. O fator 1/v normaliza pela magnitude do volume e o sinal negativo em \kappa_T faz com que \kappa_T seja positivo quando o volume diminui ao aumentar a pressão.

Passo 3

Isolando v na equação de estado (para ter v como função de P e T):
v=\frac{R\,T}{P+b}.

Passo 4

Calcular \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}. Como P e b são constantes ao derivar em relação a T,
\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}=\frac{R}{P+b}.
Usando v=\dfrac{R T}{P+b} podemos notar que
\frac{R}{P+b}=\frac{v}{T},
pois multiplicando ambos os lados por T R/(P+b)\cdot T = v.

Passo 5

Aplicar a definição de \beta:
\beta=\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}=\frac{1}{v}\cdot\frac{R}{P+b}.
Substituindo \dfrac{R}{P+b}=\dfrac{v}{T} obtemos
\beta=\frac{1}{v}\cdot\frac{v}{T}=\frac{1}{T}.
Portanto o coeficiente de dilatação volumétrica é \beta=\dfrac{1}{T}. Observação: \beta depende apenas de T (unidade típica: \mathrm{K^{-1}}).

Passo 6

Calcular \left(\dfrac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}. Diferenciando v=\dfrac{R T}{P+b} em relação a P (com T constante) temos
\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}=-\frac{R\,T}{(P+b)^{2}}.
Usando novamente v=\dfrac{R T}{P+b} podemos reescrever
-\frac{R\,T}{(P+b)^{2}}=-\frac{v}{P+b}.

Passo 7

Aplicar a definição de \kappa_{T}:
\kappa_{T}=-\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}=-\frac{1}{v}\cdot\left(-\frac{v}{P+b}\right)=\frac{1}{P+b}.
Portanto a compressibilidade isotérmica é \kappa_{T}=\dfrac{1}{P+b}. Observação: \kappa_T tem dimensão de inverso de pressão (por ex. \mathrm{Pa^{-1}}) e depende de P e do parâmetro constante b.

Resposta

\beta=\dfrac{1}{T}
\kappa_{T}=\dfrac{1}{P+b}

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